第3章 向量空间
向量空间
3.1 n维向量空间
- 向量的相关定义
由n个实数 a 1 , a 2 , . . . . a n a_{1},a_{2},....a_{n} a1,a2,....an组成的一个有序数组
( a 1 , a 2 , a 3 , . . . a n ) (a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}) (a1,a2,a3,...an)
∣ a 1 a 2 a 3 . . a n ∣ \left| \begin{matrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\\ .\\ .\\ a_{n} \end{matrix} \right| ∣ ∣a1a2a3..an∣ ∣
称为数域R上的一个n维向量，其中 a i a_{i} ai称为向量的第i个分量（i=1,2,3,…,n），1称为行向量，2称为列向量。
所有分量都是0向量称为零向量，零向量记作 0 = （ 0 , 0 , 0 , 0 , . . . 0 ） T 0=（0,0,0,0,...0）^{T} 0=（0,0,0,0,...0）T
n维向量 α = （ a 1 , a 2 , . . . . . , a n ） T \alpha=（a_{1},a_{2},.....,a_{n}）^T α=（a1,a2,.....,an）T各分量都取反数的向量，称为a的负向量，记作
− α = ( − a 1 , − a 2 , . . . . . , − a n ) -\alpha=(-a_{1},-a_{2},.....,-a_{n}) −α=(−a1,−a2,.....,−an)
- 向量的运算
（1）如果向量 α = （ a 1 , a 2 , . . . , a n ） T \alpha=（a_{1},a_{2},...,a_{n}）^T α=（a1,a2,...,an）T 与 β = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) \beta=(b_{1},b_{2},...,b_{n}) β=(b1,b2,...,bn)的对应分量都相等，即 a i = b i ( i = 1 , 2 , 3 , . . . n ) 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β a_{i}=b_i(i=1,2,3,...n)则称向量\alpha与\beta相等，记作\alpha = \beta ai=bi(i=1,2,3,...n)则称向量α与β相等，记作α=β
（2）设向量 α = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) T \alpha=(a_1,a_2,...a_n)^T α=(a1,a2,...an)T, β = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) T \beta=(b_1,b_2,...,b_n)^T β=(b1,b2,...,bn)T,则 α 与 β \alpha 与\beta α与β的和记作 α + β = , \alpha+\beta =, α+β=,并且
α + β = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . . . , a n + b n ) T \alpha + \beta = (a_1+b_1,a_2+b_2,.....,a_n+b_n) ^T α+β=(a1+b1,a2+b2,.....,an+bn)T
利用负向量的概念，可以定义向量的减法，即
α − β = α + ( − β ) = ( a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , . . . . , a n − b n ) T \alpha-\beta = \alpha + (-\beta) = (a_1-b_1,a_2-b_2,....,a_n-b_n)^T α−β=α+(−β)=(a1−b1,a2−b2,....,an−bn)T
（3）设向量 α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T \alpha =(a_1,a_2,...,a_n)^T α=(a1,a2,...,an)T,k为实数，则k与 α \alpha α的乘积
k α = ( k a 1 , k a 2 , . . . , k a n ) k\alpha = (ka_1,ka_2,...,ka_n) kα=(ka1,ka2,...,kan)
称为向量的数乘。
- 向量空间
实数域R上的所有n维向量组成的集合，连同它们的线性运算，称为实数域R上的n维向量空间，记作 R n R^n Rn.
设V是 R n R^n Rn的一个非空子集，如果满足
（1）对任意 α , β ∈ V , 都有 α + β ∈ V \alpha ,\beta \in V ,都 有\alpha + \beta \in V α,β∈V,都有α+β∈V;
（2）对任意 k ∈ R , α ∈ V , 都有 k α ∈ v k \in R, \alpha\in V,都有k\alpha\in v k∈R,α∈V,都有kα∈v;
则称V是 R n R^n Rn的一个子空间，(满足条件1,2)，也称V对向量的线性运算封闭。
- 向量的线性运算的性质
（1） α + β = β + α \alpha + \beta = \beta+\alpha α+β=β+α
（2） α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma α+(β+γ)=(α+β)+γ
（3） α + 0 = α \alpha+0=\alpha α+0=α
（4） α + ( − α ) = 0 \alpha+(-\alpha)=0 α+(−α)=0
（5） k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
（6） ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
（7） ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα)
（8） 1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α
3.2向量间的线性关系
- 向量的线性组合
设 α 1 , α 2 , . . . , α s , β ∈ R , \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta\in R, α1,α2,...,αs,β∈R,
(1)对任意常数 c 1 , c 2 , . . . , c s ∈ R , 称 c_1,c_2,...,c_s\in R,称 c1,c2,...,cs∈R,称
c 1 α 1 + c 1 α 2 + . . . + c s α s c_1\alpha_1+c_1\alpha_2+...+c_s\alpha_s c1α1+c1α2+...+csαs
为向量 α 1 , α 2 , . . . α s 的一个线性组合 \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s的一个线性组合 α1,α2,...αs的一个线性组合
(2)如果存在常数 k 1 , k 2 , . . . , k s ∈ R k_1,k_2,...,k_s\in R k1,k2,...,ks∈R 使得
k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k α s = β k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k\alpha_s=\beta k1α1+k2α2+...+kαs=β
则称向量 β \beta β可由向量组 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs线性表出（或称向量 β \beta β可以表为向量 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs的线性组合）
2)向量组线性相关或线性无关
（1） R n R^n Rn中的向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s ( s ⪖ 2 ) a_1,a_2,...,a_s(s\eqslantgtr2) a1,a2,...,as(s⪖2)称为线性相关，如果 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs中至少有一个向量可由向量组中的其余向量线性表出。
（2） R n R^n Rn中的向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s ( s ⪖ 2 ) a_1,a_2,...,a_s(s\eqslantgtr2) a1,a2,...,as(s⪖2)如果不是线性相关，则称之为线性无关。换句话说，向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s ( s ⪖ 2 ) a_1,a_2,...,a_s(s\eqslantgtr2) a1,a2,...,as(s⪖2)称线性无关，如果 a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as中的每一个向量都 不能由向量组中的其余向量线性表出。
-
线性相关与线性无关的充分必要条件
（1） R n R^n Rn中的向量组 a 1 , a 2 , . . . a s ( s ⪖ 2 ) a_1,a_2,...a_s(s\eqslantgtr2) a1,a2,...as(s⪖2)线性相关的充分必要条件是，存在不全为0的常数 k 1 , k 2 , . . . . , k s k_1,k_2,....,k_s k1,k2,....,ks，使得
k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k s a s = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_sa_s=0 k1a1+k2a2+...+ksas=0
成立
（2）一个向量 α \alpha α线性相关的充分必要条件是 α = 0 \alpha=0 α=0
（3）一个向量 α \alpha α线性无关的充分必要条件是 α ≠ 0 \alpha\neq0 α=0
（4） R n R^n Rn中向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s ( s ⪖ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s\eqslantgtr1) α1,α2,...,αs(s⪖1)线性相关的充分必要条件是，存在不全为0的常数 k 1 , k 2 , . . . . , k s k_1,k_2,....,k_s k1,k2,....,ks使得
k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k s a s = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_sa_s=0 k1a1+k2a2+...+ksas=0
成立
（5） R n R^n Rn中的向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s ( s ⪖ 1 ) a_1,a_2,...,a_s(s\eqslantgtr1) a1,a2,...,as(s⪖1)线性无关的充分必要条件是，仅当常数 k 1 = k 2 = . . . . . = k s = 0 k_1=k_2=.....=k_s=0 k1=k2=.....=ks=0时
k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k s a s = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_sa_s=0 k1a1+k2a2+...+ksas=0
才能成立
4)线性相关与线性无关的相关结论。
设向量组 a 1 , a 2 , . . . a s ∈ R n a_1,a_2,...a_s \in R^n a1,a2,...as∈Rn,则以下结论成立：
（1） a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性相关（线性无关） ⇔ \Leftrightarrow ⇔s元齐次线性方程组
x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x s a s = 0 x_1a_1+x_2a_2+...+x_sa_s=0 x1a1+x2a2+...+xsas=0
即
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 s x s = 0 a 21 x 2 + a 22 x 2 + . . . + a 2 s x s = 0 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n s x s = 0 \left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1s}x_s=0\\ a_{21}x_2+a_{22}x_2+...+a_{2s}x_s=0\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{ns}x_s=0 \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+...+a1sxs=0a21x2+a22x2+...+a2sxs=0...an1x1+an2x2+...+ansxs=0
有非零解（仅有零解）。
（2） a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性相关（线性无关） ⇔ r ( A ) < s ( r ( A ) = s ) \Leftrightarrow r(A)
（3）如果s=n，则 a 1 , a 2 , . . . a s a_1,a_2,...a_s a1,a2,...as线性相关（线性无关） ⇔ ∣ A ∣ = 0 ( ∣ A ∣ ≠ 0 ) \Leftrightarrow |A|=0(|A|\neq0) ⇔∣A∣=0(∣A∣=0).
（4）如果s>n(向量的个数大于向量的维数)，则 a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性相关。
（5）设向量 a 1 , a 2 , . . . , a s , β ∈ R n , a_1,a_2,...,a_s,\beta \in R^n, a1,a2,...,as,β∈Rn,且 β \beta β可由 a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性表出，则表示法唯一的充分必要条件是 a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性无关。
（6）如果向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关（部分相关，则整体相关）
（7）如果向量组成线性无关，则它的任意一个部分组都线性无关，（整体无关，则部分无关）
（8）设向量组 a 1 , a 2 , . . . , a s a_1,a_2,...,a_s a1,a2,...,as线性无关，其中
α 1 = ( a 11 , . . . a n 1 ) T , α 2 = ( a 12 , . . . . , a n 2 ) T , α s = ( a 1 s , . . . , a n s ) T 则 α 1 , α 2 , α s 加长的向量组 β 1 , β 2 , β s 也线性无关，其中 β 1 = ( a 11 , . . . , a n 1 , a n + 1 1 , . . . a n + m ) T β 2 = ( a 12 , . . . , a n 2 , a n + 12 , . . . a n + m 2 ) T . . . . . . β 3 = ( a 1 s , . . . , a n 3 , a + n + 1 s , . . . a n + m s ) T \alpha_1=(a_{11},...a_{n1})^T,\alpha_2=(a_{12},....,a_{n2})^T,\alpha_s=(a_{1s},...,a_{ns})^T\\ 则\alpha_1,\alpha_2,\alpha_s加长的向量组\beta_1,\beta_2,\beta_s也线性无关，其中\\ \beta_1=(a_{11},...,a_{n1},a_{n+1}1,...a_{n+m})^T\\ \beta_2=(a_{12},...,a_{n2},a_{n+12},...a_{n+m2})^T\\ ...\\ ...\\ \beta_3=(a_{1s},...,a_{n3},a+{n+1s},...a_{n+ms})^T\\ α1=(a11,...an1)T,α2=(a12,....,an2)T,αs=(a1s,...,ans)T则α1,α2,αs加长的向量组β1,β2,βs也线性无关，其中β1=(a11,...,an1,an+11,...an+m)Tβ2=(a12,...,an2,an+12,...an+m2)T......β3=(a1s,...,an3,a+n+1s,...an+ms)T
（9）如果向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs 线性相关，则 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs如果缩短向量组 α 1 , α 2 , . . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_s α1,α2,....,αs也线性相关。
3.3向量组的极大线性无关组
1)向量组的极大线性无关组的定义
如果一个向量组的部分组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr同时满足以下两个条件：
（1） α 1 , α 2 , . . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_r α1,α2,....,αr线性无关；
（2）将向量组其余向量(如果还有的话)中的任意一个向量添加到 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr中得到的r+1个向量都线性相关（即向量组的其余向量都可以由 α 1 , α 2 , . . . α r \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r α1,α2,...αr线性表出），则称 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr为该向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
2)向量组等价
设有 R n R^n Rn中的两个向量组
I : α 1 , α 2 , . . . , α s I I : β 1 , β 2 , . . . , β t I:\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\\ II:\beta_1,\beta_2,...,\beta_t I:α1,α2,...,αsII:β1,β2,...,βt
如果向量组 I I I中的每一个向量都可以由向量组 I I II II线性表出，则称向量组 I I I可由向量组 I I II II线性表出。如果向量组 I I I和向量组 I I II II可以互相线性表出，则称向量组 I I I和向量组 I I II II等价，记作
{ α 1 , α 2 , . . . α s } = ≅ { β 1 , β 2 , . . . , β t } \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s \right\}=\cong \left\{ \beta_1,\beta_2,...,\beta_t\right\} {α1,α2,...αs}=≅{β1,β2,...,βt}
可以验证：向量组之间的等价关系有以下性质：
（1）反身性：任一向量组与其自身等价。即 { α 1 , α 2 , . . . α s } ≅ { α 1 , α 2 , . . . α s } \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s\right\} \cong \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s\right\} {α1,α2,...αs}≅{α1,α2,...αs}
（2）对称性：如果 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { β 1 , β 2 , . . . β t } \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s \right\}\cong\left\{ \beta_1,\beta_2,...\beta_t\right\} {α1,α2,...,αs}≅{β1,β2,...βt}
则 { β 1 , β 2 , . . . β t } ≅ { α 1 , α 2 , . . . α s } \left\{ \beta_1,\beta_2,...\beta_t \right\}\cong\left\{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s\right\} {β1,β2,...βt}≅{α1,α2,...αs}
（3）传递性：如果 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { β 1 , β 2 , β t } \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\right\}\cong\left\{ \beta_1,\beta_2,\beta_t\right\} {α1,α2,...,αs}≅{β1,β2,βt}
并且有:
{ β 1 , β 2 , . . . , β t } ≅ { γ 1 , γ 2 , . . . γ m } \left \{ \beta_1,\beta_2,...,\beta_t \right \} \cong \left \{ \gamma_1, \gamma_2,...\gamma_m \right \} {β1,β2,...,βt}≅{γ1,γ2,...γm}
则有 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { γ 1 , γ 2 , . . . . γ m } \left\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\right\}\cong\left\{\gamma_1,\gamma_2,....\gamma_m\right\} {α1,α2,...,αs}≅{γ1,γ2,....γm}
-
向量组等价的相关结论。
（1）向量组和它的极大无关组等价。
（2）向量组的任意两个极大无关组等价。
（3）设向量组 α 1 , α 2 , . . . α s {\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s} α1,α2,...αs可由向量组 β 1 , β 2 , . . . β t \beta_1,\beta_2,...\beta_t β1,β2,...βt线性表出。如果s>t，则向量组 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs线性相关。
（4）设向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的极大无关组所含的向量个数，称为该向量组的秩。
（5）两个等价的并且都线性无关的向量组，所含的向量个数相同。
（6）一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同。
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向量组的秩
（1）向量组 α 1 , α 2 , . . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_s α1,α2,....,αs的极大无关组所含的向量个数，称为该向量组的秩，记作r( α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs).由于仅含零向量的向量组不含有极大无关组，从而由零向量组成的向量组的秩为0.如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性无关，则其极大无关组即为向量组本身。因此， α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔r( α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs)=s
（2）对于任意含有非零向量的向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs有
1 ⪕ r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) ⪕ s 1\eqslantless r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)\eqslantless s 1⪕r(α1,α2,...,αs)⪕s
（3）由向量组的秩与其极大无关组的关系，还可以得到下面的重要结论：
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1如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs可由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt线性表出，则
r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) r(α1,α2,...,αs)=r(β1,β2,...,βt) -
2如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs与向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_1,\beta_2,...,\beta_t β1,β2,...,βt等价，刚
r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) r(α1,α2,...,αs)=r(β1,β2,...,βt)
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-
求向量组的极大无关组
设A为m×n矩阵，B为m×n阶梯矩阵，且A与B分别按列分块为
A = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , B = ( β 1 , β 2 , . . . , β n ) A=(a_1,a_2,...,a_n),B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n) A=(a1,a2,...,an),B=(β1,β2,...,βn)
称 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn为A列向量组， β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn为列B的列向量组。
求 R n R^n Rn中给定向量组 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量由该极大无关组线性表出的计算步骤：
（1）以 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs为列构造n*s矩阵
A = ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) A=(α1,α2,...,αs)
（2）对A作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵B，如果 r ( B ) = s , r(B)=s, r(B)=s,则 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的极大无关组即为其自身，计算结束，如果r(B)=r < s <s进入下步
（3）对矩阵B继续作初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵C，这时C的各主元所在的列 j 1 , j 2 , . . . , j r j_1,j_2,...,j_r j1,j2,...,jr对应的向量 α j 1 , α j 2 , . . . , α j r \alpha_{j1},\alpha_{j2},...,\alpha_{jr} αj1,αj2,...,αjr就是向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的一个极大无关组。而C的非主元对应的第j列 （ j ≠ j 1 , j 2 , . . . , j r ） （j\neq j_1,j_2,...,j_r） （j=j1,j2,...,jr）的各个数值，就是向量 α j \alpha_j αj由极大无关组 α j 1 , α j 2 , . . . α j r \alpha_{j1},\alpha_{j2},...\alpha_{jr} αj1,αj2,...αjr线性表出的相应系数。
3.4向量组的秩与矩阵的秩。
1)矩阵的行秩与列秩的相关知识
（1）矩阵 A = ( a i j ) m ∗ n A=(a_{ij})_{m*n} A=(aij)m∗n的行向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm的秩，称为矩阵A的行秩；A的列向量组 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn的秩。称为矩阵A的列秩
（2）设A为m×n矩阵，则r(A)=k的充分必要条件是A的行秩与列秩均为k
（3）初等变换不改变秩阵的行秩与列秩。
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求向量组的秩或秩阵的秩。
（1）利用定义求向量组的或秩阵的秩。
对于向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn，若它的极大无关组为 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr,则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α r ) = r . r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r)=r. r(α1,α2,...,αr)=r.
（2）利用秩阵的初等行变换求向量组或矩阵的秩。
设 S = { α 1 , α 2 , . . . , α n } S=\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\} S={α1,α2,...,αn}是n维列向量组，构成秩阵 A = { α 1 , α 2 , . . . , α m } A=\{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\} A={α1,α2,...,αm}.
用初等变换法把它化成列阶梯形矩阵化成行阶梯形矩阵。
A = ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) → ( β 1 , β 2 , . . . , β m ) = B A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\rightarrow (\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)=B A=(α1,α2,...,αm)→(β1,β2,...,βm)=B矩阵B中非零行的个数即为向量组S={ α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm}的秩，也即矩阵A的秩。
3.5 R n R^n Rn标准正交基
1)向量的内积及期性质
设 α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T , β = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) T ∈ R n \alpha=(a_1,a_2,...,a_n)^T,\beta= (b_1,b_2,...,b_n)^T \in R^n α=(a1,a2,...,an)T,β=(b1,b2,...,bn)T∈Rn,则称它们对应分量的乘积之各 a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . . + a n b n = ∑ i = 1 n a i b i a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i a1b1+a2b2+....+anbn=∑i=1naibi
为向量 α 与 β 的内积，记作（ α , β ） \alpha与\beta的内积，记作（\alpha,\beta） α与β的内积，记作（α,β）
向量的内积有以下性质：
（1） ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) (α,β)=(β,α)
（2） ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta) (kα,β)=k(α,β)
（3） ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β + γ ) (\alpha +\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta+\gamma) (α+β,γ)=(α,γ)+(β+γ)
（4） ( α , α ) ⪖ 0 , 且（ α , α ） = 0 ⇔ α = 0 (\alpha,\alpha)\eqslantgtr 0,且（\alpha,\alpha）=0\Leftrightarrow \alpha=0 (α,α)⪖0,且（α,α）=0⇔α=0
其中 α , β , γ ∈ R , k ∈ R \alpha,\beta,\gamma \in R,k\in R α,β,γ∈R,k∈R
-
向量的长度及其性质。
设 α = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T ∈ R n \alpha=(a_1,a_2,...,a_n)^T\in R^n α=(a1,a2,...,an)T∈Rn,称 ( α , α ) \sqrt{(\alpha,\alpha)} (α,α)为向量的找度（或模），记作（ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||\alpha|| ∣∣α∣∣）,即∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + . . . . + a n 2 = ∑ i = 1 n a i 2 ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+....+a_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} ∣∣α∣∣=(α,α)=a12+a22+a32+....+an2=∑i=1nai2
零向量的长度为0.
特别地，如果 ∣ ∣ a ∣ ∣ = 1 , 则称 α 为单位向量。 ||a||=1,则称\alpha为单位向量。 ∣∣a∣∣=1,则称α为单位向量。
向量的长度有以下性质：
（1） ∣ ∣ α ∣ ∣ ⪖ 0 , 且 ∣ ∣ α ∣ ∣ = 0 ⇔ α = 0 ||\alpha||\eqslantgtr0,且||\alpha||=0\Leftrightarrow \alpha=0 ∣∣α∣∣⪖0,且∣∣α∣∣=0⇔α=0
（2） ∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ∗ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k\alpha||=|k|*||\alpha|| ∣∣kα∣∣=∣k∣∗∣∣α∣∣
（3） ∣ ∣ α + β ∣ ∣ = ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta||=||\alpha||+||\beta|| ∣∣α+β∣∣=∣∣α∣∣+∣∣β∣∣
其中, α , β ∈ R n , k ∈ R . \alpha,\beta \in R^n ,k \in R. α,β∈Rn,k∈R.
- 两个向量正交
设 α , β ∈ R n , 如果（ α , β ） = 0 则称向量 α 与 β 正交，记作 α ⊥ β \alpha,\beta \in R^n,如果（\alpha,\beta）=0 则称向量\alpha 与\beta 正交，记作\alpha \bot \beta α,β∈Rn,如果（α,β）=0则称向量α与β正交，记作α⊥β
4)正交向量组
如果微量组 α 1 , α 2 , . . . , α s ( s ⪖ 2 , α 1 , α 2 , . . . . , α s , 均为非零向量 ) \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s\eqslantgtr2,\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_s,均为非零向量) α1,α2,...,αs(s⪖2,α1,α2,....,αs,均为非零向量)中的向量两两正交，则称 α 1 , α 2 , . . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_s α1,α2,....,αs为一个正交向量组。
进一步，如果正交向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs中的向量都 是单位向量,刚称 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs为一个正交单位向量组。
正交向量组有以下性质：
若 α 1 , α 2 , . . . α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s α1,α2,...αs为一个正交向量组，则 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性无关。
-
R n R^n Rn的基与标准正交基
在 R n R^n Rn中，称任意n个线性无关的向量组，则称 α 1 , α 2 , . . . , α n 为 R n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n α1,α2,...,αn为Rn的一组基。
R n R^n Rn的基所含的向量个数，称为R^n的维数，记作 d i m R n = n dimR^n=n dimRn=n
如果 α 1 , α 2 , . . . , α n 为 R n 的正交的向量组，则称称 α 1 , α 2 , . . . , α n 为 R n 的一个正交基；进一步，如果 α 1 , α 2 , . . . α n 为 R n 的正交单位向量组，则称 α 1 , α 2 , . . . , α n 为 R n 的一个标准正交基。 \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n的正交的向量组，则称称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n的一个正交基；进一步，如果\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n为R^n的正交单位向量组，则称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n的一个标准正交基。 α1,α2,...,αn为Rn的正交的向量组，则称称α1,α2,...,αn为Rn的一个正交基；进一步，如果α1,α2,...αn为Rn的正交单位向量组，则称α1,α2,...,αn为Rn的一个标准正交基。
- 向量在 R n 的一组基下的坐标 R^n的一组基下的坐标 Rn的一组基下的坐标
设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn为 R n R^n Rn的一组基，则对任意 α ∈ R n \alpha\in R^n α∈Rn, α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性表出，并且表示法唯一，即存在唯一一组常数 k 1 , k 2 , . . . , k n ∈ R k_1,k_2,...,k_n\in R k1,k2,...,kn∈R
使得
α = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n , \alpha = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+kn\alpha_n, α=k1α1+k2α2+...+knαn,
- 向量在 R n 的一组基下的坐标 R^n的一组基下的坐标 Rn的一组基下的坐标
称常数 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn为向量 α \alpha α在基于 α 1 , α 2 , . . . α n \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n α1,α2,...αn下的坐标，记作（ k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn).
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施密特正交化方法
设 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ⪖ 2 ) \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s (s\eqslantgtr2) α1,α2,...αs(s⪖2) 是 R n R^n Rn中的一个线性无关向量组，令
β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 β s = α s − ( α s − β 1 ) β 1 , β 1 β 1 − ( α s , β 2 ) β 2 , β 2 β 2 − . . . − ( α s − β s − 1 ) β s − 1 , β s − 1 β s − 1 \beta_1= \alpha_1\\ \beta_2 = \alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\\ \beta_3 = \alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2\\ \beta_s = \alpha_s-\frac{(\alpha_s-\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}\beta_1-\frac{(\alpha_s,\beta_2)}{\beta_2,\beta_2}\beta_2-...-\frac{(\alpha_s-\beta_{s-1})}{\beta_{s-1},\beta_{s-1}}\beta_{s-1} β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2βs=αs−β1,β1(αs−β1)β1−β2,β2(αs,β2)β2−...−βs−1,βs−1(αs−βs−1)βs−1
则 β 1 , β 2 , . . . β s \beta_1,\beta_2,...\beta_s β1,β2,...βs是一个正交向量组，且满足 β 1 , β 2 , . . . , β s ≅ α 1 , α 2 , . . . α s {\beta_1,\beta_2,...,\beta_s}\cong{\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s} β1,β2,...,βs≅α1,α2,...αs
如果s = n 则 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1, \beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn是 R n R^n Rn的一组正交基，进一步将 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn都标准化（单位化），即令
γ j = 1 ∣ ∣ β j ∣ ∣ β j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) \gamma_j = \frac{1}{||\beta_j||}\beta_j(j=1,2,...,n) γj=∣∣βj∣∣1βj(j=1,2,...,n)
就得到 R n R^n Rn的一组标准正交基 γ 1 , γ 2 , . . . , γ n . \gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_n. γ1,γ2,...,γn.
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正交矩阵
设A为一个n阶实矩阵，如果A满足A T A = E A^TA=E ATA=E
则称A为一个n阶正交矩阵。
实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A可逆，并且 A − 1 = A T A^-1=A^T A−1=AT.
实矩阵A为正交矩阵的充分必要件是 A A T = E AA^T=E AAT=E