半正定矩阵和正定矩阵的一些理解和补充

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一：半正定矩阵

设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^TAx≥0，就称A为半正定矩阵。

        等价条件：
                     1. A是半正定的；

                     2. A的所有主子式均为非负的；

                     3. A的特征值均为非负的；

                     4. 存在n阶实矩阵C，使A=C^TC；

                     5. 存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B^TB。

注：顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

补充：
1）AA^T一定是半正定矩阵

证明：根据上面的定义出发，有如下，

    X^T(AA^T) X= (A^TX)^T(A^TX) = ||A^TX||² >=0

    所以得证。

2）tr(AA^T),其中A为n*1的矩阵

    tr(AA^T) = A^TA,其中A为n*1的矩阵。

举个例子：
假设矩阵A = (1 2 3)^T,A^T=(1 2 3)，可以算出tr(AA^T)=A^TA

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二：正定矩阵

A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有x^TAx>0，其中x^T 表示x的转置，就称A正定矩阵.

        等价条件：
           1. A的一切顺序主子式均为正；

           2. A 的一切主子式均为正；

           3. A 的特征值均为正；

           4. 在实可逆矩阵C，使A=C^TC；

           5. 存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B^TB。

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判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
        1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
        2.计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
                     

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3.直观理解正定、半正定矩阵

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参考链接：https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151