kruskal 重构树（讲解 + 例题）

kruskal重构树

如何建树

模仿$kruskal$，先将所有边排序。

依次遍历每一条边，如果这条边的两个节点（$u,v$）不在同一个连通块里面，

则新建一个$node$节点，更新$fa[u]=fa[v]=node$，同时有$fa[node]=node$，

建立$node->u,node->v$的边，同时给$node$节点赋值上这条边的边权，

一些性质

① 是一个小/大根堆（由建树时边权的排序方式决定）。

② $LCA(u,v)$的权值是从$u$到$v$的路径上的最大/最小边权的最小/最大值（同样由建树是边权的排序所决定）。

显然，对于每个新建的$node$节点，一定有权值是由深度更小到深度更大递减的（如果排序时按照升序排列），反之亦然，所以易证得 ① ② 成立。

#3732. Network

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int value[N], ff[N], nn, n, m, q;

int head[N], to[N], nex[N], cnt = 1;

int fa[N], son[N], sz[N], dep[N], top[N], tot;

struct Res {
  int u, v, w;

  void read() {
    scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
  }

  bool operator < (const Res &t) const {
    return w < t.w;
  }
}a[N];

void add(int x, int y) {
  to[cnt] = y;
  nex[cnt] = head[x];
  head[x] = cnt++;
}

int find(int rt) {
  return rt == ff[rt] ? rt : ff[rt] = find(ff[rt]);
}

void dfs1(int rt, int f) {
  fa[rt] = f, dep[rt] = dep[f] + 1, sz[rt] = 1;
  for (int i = head[rt]; i; i = nex[i]) {
    if (to[i] == f) {
      continue;
    }
    dfs1(to[i], rt);
    sz[rt] += sz[to[i]];
    if (sz[son[rt]] < sz[to[i]]) {
      son[rt] = to[i];
    }
  }
}

void dfs2(int rt, int tp) {
  top[rt] = tp;
  if (!son[rt]) {
    return ;
  }
  dfs2(son[rt], tp);
  for (int i = head[rt]; i; i = nex[i]) {
    if (to[i] == fa[rt] || to[i] == son[rt]) {
      continue;
    }
    dfs2(to[i], to[i]);
  }
}

int lca(int x, int y) {
  while (top[x] != top[y]) {
    if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) {
      swap(x, y);
    }
    x = fa[top[x]];
  }
  return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}

void kruskal() {
  for (int i = 1; i < N; i++) {
    ff[i] = i;
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u = a[i].u, v = a[i].v;
    int fu = find(u), fv = find(v);
    if (fu != fv) {
      value[++n] = a[i].w;
      ff[n] = ff[fu] = ff[fv] = n;
      add(n, fv), add(n, fu);
    }
  }
  dfs1(n, 0), dfs2(n, n);
}

int main() {
  // freopen("in.txt", "r", stdin);
  // freopen("out.txt", "w", stdout);
  // ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  scanf("%d %d %d", &nn, &m, &q), n = nn;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    a[i].read();
  }
  sort(a + 1, a + 1 + m);
  kruskal();
  while (q--) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    printf("%d\n", value[lca(u, v)]);
  }
  return 0;
}

#3551. [ONTAK2010]Peaks加强版

我们要求从一个点出发经过困难值小于等于$x$的路径所能到达的山峰中第$k$高的是什么。

考虑按照边权升序，建议$kruskal$重构树，然后倍增向上跳，找到困难值小于等于$x$的深度最小的节点$u$，

那么我们只要在$u$的子树中询问第$k$大即可，所以可以用主席树来写，依照$dfs$序，对每个节点建立一颗主席树，然后在主席树上查找第$k$大即可。

#include 

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;

int head[N], to[N], nex[N], cnt = 1;

int n, m, q, nn, a[N], ff[N], value[N], h[N];

int fa[N][21], l[N], r[N], rk[N], tot;

int root[N], ls[N << 7], rs[N << 7], sum[N << 7], num;

struct Res {
  int u, v, w;

  bool operator < (const Res &t) const {
    return w < t.w;
  }
}edge[N];

void add(int x, int y) {
  to[cnt] = y;
  nex[cnt] = head[x];
  head[x] = cnt++;
}

void update(int &rt, int pre, int l, int r, int x, int v) {
  rt = ++num;
  ls[rt] = ls[pre], rs[rt] = rs[pre], sum[rt] = sum[pre] + v;
  if (l == r) {
    return ;
  }
  int mid = l + r >> 1;
  if (x <= mid) {
    update(ls[rt], ls[pre], l, mid, x, v);
  }
  else {
    update(rs[rt], rs[pre], mid + 1, r, x, v);
  }
}

int query(int L, int R, int l, int r, int k) {
  if (l == r) {
    return l;
  }
  int res = sum[ls[R]] - sum[ls[L]], mid = l + r >> 1;
  if (res >= k) {
    return query(ls[L], ls[R], l, mid, k);
  }
  else {
    return query(rs[L], rs[R], mid + 1, r, k - res);
  }
}

int find(int rt) {
  return rt == ff[rt] ? rt : ff[rt] = find(ff[rt]);
}

void dfs(int rt, int f) {
  fa[rt][0] = f, l[rt] = ++tot, rk[tot] = rt;
  for (int i = 1; i <= 20; i++) {
    fa[rt][i] = fa[fa[rt][i - 1]][i - 1];
  }
  for (int i = head[rt]; i; i = nex[i]) {
    if (to[i] == f) {
      continue;
    }
    dfs(to[i], rt);
  }
  r[rt] = tot;
}

void kruskal() {
  for (int i = 1; i < N; i++) {
    ff[i] = i;
  }
  sort(edge + 1, edge + 1 + m);
  for (int i = 1, cur = 1; i <= m && cur < n; i++) {
    int u = find(edge[i].u), v = find(edge[i].v);
    if (u != v) {
      cur++, nn++;
      ff[u] = nn, ff[v] = nn;
      value[nn] = edge[i].w;
      add(nn, u), add(nn, v);
      if (u <= n) {
        value[u] = edge[i].w;
      }
      if (v <= n) {
        value[v] = edge[i].w;
      }
    }
  }
  dfs(nn, 0);
}

int main() {
  // freopen("in.txt", "r", stdin);
  // freopen("out.txt", "w", stdout);
  // ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &h[i]);
    a[i] = h[i];
  }
  nn = n;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    scanf("%d %d %d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
  }
  kruskal();
  int maxn = n;
  sort(a + 1, a + 1 + maxn);
  maxn = unique(a + 1, a + 1 + maxn) - (a + 1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    h[i] = lower_bound(a + 1, a + 1 + maxn, h[i]) - a; 
  }
  for (int i = 1; i <= nn; i++) {
    root[i] = root[i - 1];
    if (rk[i] <= n) {
      update(root[i], root[i], 1, maxn, h[rk[i]], 1);
    }
  }
  for (int i = 1, u, x, k, last_ans = 0, res; i <= q; i++) {
    scanf("%d %d %d", &u, &x, &k);
    if (last_ans != -1) {
      u ^= last_ans, x ^= last_ans, k ^= last_ans;
    }
    for (int j = 20; j >= 0; j--) {
      if (fa[u][j] && value[fa[u][j]] <= x) {
        u = fa[u][j];
      }
    }
    res = sum[root[r[u]]] - sum[root[l[u] - 1]];
    last_ans = res < k ? -1 : a[query(root[l[u] - 1], root[r[u]], 1, maxn, res - k + 1)];
    printf("%d\n", last_ans);
  }
  return 0;
}

P4768 [NOI2018] 归程

给定一个$n$个点，$m$条边的无向联通图，边的描述为$[u,v,l,a]$，表示$u$，$v$连有一条长度为$l$，海拔为$a$的边，

有$Q$个询问，每次给出一个出发点$u$和一个海拔限制高度$p$，并且在出发点有一辆车，这辆车可以通过海拔大于$p$的边，

问，从$u->1$的最短步行长度是什么多少。

设从$u$坐车出发可到的点集为$S$，我们的任务就是找到一个点$v,v\in S$，$dis(v,1)$是$dis(x,1),x\in S$中最的小。

① 预处理出每个点到点$1$的最短路径出来，

② 我们按照海拔高度降序建立一颗$kruskal$重构树，

③ 从$u$号点往上跳，找到可坐车到达的深度最小的节点$rt$，显然从$u$可坐车到达的点集就是$rt$所在的这颗子树，

④ 由于我们查找的是最小值，所以只需在$dfs$的过程中，不断向上更新整颗子树的最小值即可。

⑤ 直接输出我们找到的$rt$所代表的答案。

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int head[N], to[N], nex[N], cnt = 1;

int head1[N], to1[N], nex1[N], value1[N], cnt1 = 1;

int vis[N], dis[N], ff[N], value[N], fa[N][21], ans[N], nn, n, m, Q, K, S;

struct Edge {
  int u, v, w;
  
  bool operator < (const Edge &t) const {
    return w > t.w;
  }
}edge[N];

struct Node {
  int u, w;
  
  bool operator < (const Node &t) const {
    return w > t.w;
  }
};

void add1(int x, int y, int w) {
  to1[cnt1] = y;
  nex1[cnt1] = head1[x];
  value1[cnt1] = w;
  head1[x] = cnt1++;
}

void add(int x, int y) {
  to[cnt] = y;
  nex[cnt] = head[x];
  head[x] = cnt++;
}

priority_queue<Node> q;

void Dijkstra() {
  while (q.size()) {
    q.pop();
  }
  q.push({1, 0});
  memset(vis, 0, sizeof vis), memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
  dis[1] = 0;
  while (q.size()) {
    int rt = q.top().u;
    q.pop();
    if (vis[rt]) {
      continue;
    }
    vis[rt] = 1;
    for (int i = head1[rt]; i; i = nex1[i]) {
      if (dis[to1[i]] > dis[rt] + value1[i]) {
        dis[to1[i]] = dis[rt] + value1[i];
        q.push({to1[i], dis[to1[i]]});
      }
    }
  }
}

int find(int rt) {
  return ff[rt] == rt ? rt : ff[rt] = find(ff[rt]);
}

void dfs(int rt, int f) {
  fa[rt][0] = f, ans[rt] = rt <= n ? dis[rt] : 0x3f3f3f3f;
  for (int i = 1; i <= 20; i++) {
    fa[rt][i] = fa[fa[rt][i - 1]][i - 1];
  }
  for (int i = head[rt]; i; i = nex[i]) {
    if (to[i] == f) {
      continue;
    }
    dfs(to[i], rt);
    ans[rt] = min(ans[rt], ans[to[i]]);
  }
}

void kruskal() {
  for (int i = 1; i < N; i++) {
    ff[i] = i, head[i] = 0;
  }
  cnt = 1;
  sort(edge + 1, edge + 1 + m);
  for (int i = 1, cur = 1; i <= m && cur < n; i++) {
    int u = find(edge[i].u), v = find(edge[i].v);
    if (u != v) {
      cur++, nn++;
      ff[u] = nn, ff[v] = nn;
      value[nn] = edge[i].w;
      add(nn, u), add(nn, v);
      if (u <= n) {
        value[u] = edge[i].w;
      }
      if (v <= n) {
        value[v] = edge[i].w;
      }
    }
  }
  dfs(nn, 0);
}

int main() {
  // freopen("in.txt", "r", stdin);
  // freopen("out.txt", "w", stdout);
  // ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    nn = n;
    memset(head1, 0, sizeof head1), cnt1 = 1;
    for (int i = 1, u, v, l, a; i <= m; i++) {
      scanf("%d %d %d %d", &u, &v, &l, &a);
      add1(u, v, l), add1(v, u, l);
      edge[i] = {u, v, a};
    }
    Dijkstra();
    kruskal();
    scanf("%d %d %d", &Q, &K, &S);
    for (int i = 1, v, p, last_ans = 0; i <= Q; i++) {
      scanf("%d %d", &v, &p);
      v = (v + 1ll * K * last_ans - 1) % n + 1, p = (p + 1ll * K * last_ans) % (S + 1);
      for (int j = 20; j >= 0; j--) {
        if (fa[v][j] && value[fa[v][j]] > p) {
          v = fa[v][j];
        }
      }
      last_ans = ans[v];
      printf("%d\n", last_ans);
    }
  }
  return 0;
}