定义：若一个正整数无法被1和他自身除外的任意自然数整除，则称该数为质数，否则为合数。
质数的数量：在整个自然数集合中，质数的数量不多，分布比较稀疏，对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约，每个数中大约有一个质数。
1判断质数的方法
1.1试除法
定理：若一个正整数N为合数则存在一个能整除N的数T，其中。
证明：
因为N是合数，所以一定存在一个T能整除N，并且。
反证法：假设命题不成立，T能整除N，T一定满足。因为T能整除N，所以的商也能整除N。N/T满足，令让T=N/T，与假设矛盾。假设不成立，原命题成立。
算法：扫描~之间的所有整数，如果能整除N，说明N是合数。如果都不能整除N，那么N是质数
1.2Miller-Robbin
需要先掌握，费马小定理，为了证明费马小定理的欧拉定理，
1.2.1费马小定理
费马小定理：若p为素数，a是任意整数并且则有。
分析：考虑不等于1的情况
1）其中,
2），
总结两种情况就是a取余p不为0。
思考：为什么这个公式会成立，看一种特殊情况。
可以看出当x按顺序从1到6排列时，出现的数是1~6，但是顺序打乱了。可以得到公式
定理：若p为素数，a是任意整数并且。那么数列1,2,3,4....p-1与序列a,2a,3a,4a....(p-1)a (mod p)数相同，但是次序不同。
反证法：假设任意两个数j和k并且，使得成立。因为ja与ka同余所以必定有,但是序列a,2a,3a,4a....(p-1)a都不能被p整除。这个公式永远无法成立，假设不成立。
费马小定理通过的特殊情况，将3变为a，6变为p-1，7变p。就可以证明成功。
证明：费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况。通常是证明欧拉定理，欧拉定理正确就说明费马小定理正确。下面我们看看欧拉定理
1.2.2欧拉定理
欧拉定理：若正整数a,m满足,则
其中是欧拉函数，1到m中与m互质的数的个数。
定理：若并且其中那么整数数列与序列数相同，但是次序不同。其中b是按从小到大的顺序排序。
证明这个很简单，使用反证法假设任意两个数j和k属于数列b、并且j>k，使得成立，那么必定有，但是这个p是不可能整除(j-k)a的，所以对于来说任意两个数都不相同。
因为这样的b一共有个,并且。对于任意的都等于1,并且互不相同。所以对于任意的一定能找到一个相等的。
其中当m是质数时，费马小定理显然成立。
1.2.3Fermat 素性测试
Miller-Robbin算法希望用费马小定理判断x是否为质数。
使用公式如果这个公式成立，那么x为质数。但是这个想法是错误的，因为x是质数这个公式一定成立，但是x不是质数这个公式不一定会失败。例如：
如果随机选取a，多判断几次呢只要判断判断的次数够多，那么是否可以避免这种情况呢。不过对于任意的a都不满足。
只使用费马小定理是有很小的概率将合数错误判断为质数的。
1.2.4二次探测定理
如果p是素数，那么的唯一解就是x=1或x=p-1。
证明：
因为p是大于x的质数，或者。
1.2.5具体实现
对于随机的a，使用二次探测和费马小定理同时测试。只要测试的次数够多一定能得到答案。但是这样太慢了。
Miller-Robbin算法流程判断n是否是素数。
1将x-1分解成的形式，其中u的最后一位必须是1。例如变为,变为。
2生成一个随机数a,求出x =
3令y = ，如果y是1，并且并且说明n不是质数。否则让x=y执行下一步
4重复步骤3，t次如果每次都没证明n不是质数，并且最后y为1。那么说明p是质数。
5重复执行2，直到验证k次都成功。
二次探测和费马小定理同时测试成功率非常高，但是还是有可能误判，需要多次判断，最好判断8次。比较好的a有2,3,5,7,11,13,17,61。
时间复杂度大概是logn级别的吧。
2质数的筛选
给出从1到n之间的所有质数
2.1埃筛
埃筛的思想是，任何整数的倍数都不是质数。从1到n扫描，对于每个数标记他的倍数为合数。
1扫描到x，如果x是合数，那么x的倍数一定被比x小的数筛过一遍。每次从小到大只对质数的倍数进行筛选就可以了。
2如果x是质数如果那么xk一定被k或者k的质因数筛过了。
避免掉这两种情况埃筛的时间复杂度就已经接近线性了。
2.2线筛
线筛的思想就是每个数只被最小质因子筛一次。埃筛2会筛一遍12,3会筛一遍12。
线筛首先生成一个数列p，p是从1到N的所有素数并且从小到大排序，。从1到n扫描x，对于任意一个数x，对于i从1到p.length()扫描标记是合数，如果。那么停止扫描因为如果让i接着+1，那么对于来说，x的最小质因子是但是他被标记为合数。如果不是x最小的合数那么对于的最小质数一定是。每个合数只会被他最小的质因数标记一次。所以时间复杂度是O（N)
3质因数分解
3.1算数基本定理
任何一个大于1的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：
其中是正整数，是质数，且满足
3.2试除法
试除法扫描~直接的每个数d，如果d能整除N，则从N中除掉d的所有因子，同时累计d的个数。最后剩余的N如果是1，那么说明我们已经扫描完了d的所有质因子。否则N就是剩下的那个质因子。
3.3Pollard's Rho
3.3.1生日悖论
反面思考，对于一个人来说与其他人生日都不同的概率。对于第一个人是365/365选择任何一天都可以。对于第二个人来说是364/365不能和第一个人选择同一天。所以一个班n个人生日都不同的概率是
当n为23时，一个班中有生日相同的概率就到50%以上了，当n为50时一个班有相同生日的概率达到了97%
3.3.1Pollard算法流程
1使用Miller-Robbin判断n是否是质数，如果n是质数，那么直接返回n
2找到一个p，p能整除n，分别使用pollard计算p与n/p
Pollard's Rho算法本身看着不优秀，关键是寻找这个p的难度大。首先进行一个优化寻找p,这样不止判断了x，还判断了x的质因子。这种做法正是根据生日悖论，加入比较的数越多，比较成功的概率会以指数上升。x的选择通常采用两个数p1,p2相减的绝对值得到，。其中c是一个常数。这样x的值每次重复的概率比较小，但是我也不知道为什么。另外p1和p2计算的过程中可能遇到环，因此要让两个走的步伐不一致，如果p1==p2说明出现环。
这就是算法的一个完整过程，看着并不快，但是期望时间复杂度是。