命题逻辑

命题

命题
: 命题是一个陈述预计（即陈述事实的语句），它或真或假，但不能既真又假。

我们用字母来表示命题变元，它是代表命题的变量。习惯上用字母表示命题。如果一个命题是真命题，它的真值为真，用表示；如果它是假命题，其真值为假，用表示。

涉及命题的逻辑领域称为命题演算或命题逻辑。许多数学陈述都是有一个或多个命题组合而来。称为复合命题的新命题是由已知命题用逻辑运算符组合而来。

命题逻辑中的命题公式(well formed formula 简记为wff)递归地定义为：

1. 单个命题变项是命题公式
2. 如果是命题公式，则()也是命题公式；
3. 如果和是命题公式，则有逻辑联结词联结和的符号串也是命题公式，如等。
4. 有限次应用(1)~(3)构成的符号串才是命题公式。

非
: 令为一个命题，则的否定记作（也可记作），指“不是所指的情形”。命题读作“非”。的否定的真值和的真值相反。

非也可以用符号表示，与表示的意思相同。

命题之否定的真值表

合取(and)
: 令和为命题。、的合取即命题“并且”，记作。当和都是真时命题为真，否则为假

析取(or)
: 令和为命题。、的析取即命题“或”，记作。当和均为假时，命题为假，否则为真。

异或
: 令和为命题。、的异或（记作）是这样一个命题： 当和中恰好只有一个为真命题时为真，否则为假。

蕴含
: 令和为命题条件语句是命题“如果，则”。当为真而为假时，条件语句为假，否则为真。在条件语句中，称为假设（前件、前提），称为结论（后件）。

条件语句

语句称为条件语句，因为可以断定在条件成立的时候为真。条件语句也称为蕴含。，则是的必要条件。

充分条件、必要条件、充分必要条件

• 充分条件： 如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
• 必要条件： 必要条件是数学中的一种关系形式。如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作，读作“B含于A”。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
• 充分必要条件： 也称充要条件 如果是的充要条件，则通过可以推导出，通过也可以推导出，。当且仅当即指充要条件。

“仅当”和“除非”

• “仅当”，表达了“如果，则”同样的意思。
• “除非”，与拥有相同的真值。可以做下转换，除非”，也就是说“如果非则”即

逆命题、逆否命题与反命题
: 由条件语句可以构成一些新的条件语句。特别是三个常见的相关条件语句还拥有特殊的名称。命题称为的逆命题，而的逆否命题是命题。命题称为的反命题。三个由衍生出来的条件语句中，只有逆否命题总是和具有相同的真值。

当两个复合命题具有相同的真值时，我们称它们是等价的。前提为真，结论为假时才为假。

双条件语句
: 令和为命题。双条件语句是命题“当且仅当”。当和有同样的真值时，双条件语句为真，否则为假（即同为真或同为假）。双条件语句也称为双向蕴含。

与有完全相同的真值。

条件的隐式使用

~

复合命题的真值表

逻辑运算符的优先级

运算符	优先级
	1
	2
	3
	4
	5

逻辑运算和位运算

真值	位
	1
	0

计算机的位运算对应于逻辑联结词（对应与、或、异或 ）。

永真式

假设是一个元命题公式，

• 若其所有个真值指派都是成真指派，则称为永真式或重言式（rautology），即无论所有命题变元取何真值，命题公式的真值都为真。
• 若其所有个真值指派都是成假指派，则称为永假式或矛盾式（contradiction），即无论所有命题变元取何真值，命题公式的真值都为假。
• 若至少存在一个成真指派，则称为可满足式（statisfiable formula）
• 若至少存在一个成真指派及成假指派，则称为非重言的可满足式。

重言式一定是可满足式