拉普拉斯变换解微分方程

使用拉普拉斯变换解一阶、二阶微分方程。

一、核心内容

1. 拉氏变换对

时域	s域
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^2$	$\frac{2}{s^3}$

3. 导数的拉氏变换
   $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=sF(x)-f(0) \\ {f}^{\prime \prime }(x)=s^{2}F(x)-sf(0)-f^{\prime }(0) \end{gathered}$$
4. 留数法分解因式

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二、例子

例1

$$y^{\prime }=1,y(0)=1$$

解：两边进行拉氏变换

$$\begin{array}{rl}& sY(s)-y(0)=\frac{1}{s}\\ \Rightarrow & sY(s)-1=\frac{1}{s}\\ \Rightarrow & Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\end{array}$$

两边进行反拉氏变换

$$y(t)=1+t$$

这个例子简单，杀鸡用了牛刀，但很有利于熟悉公式及验证算法正确性。下面看个二阶的。

例2
$$y^{\prime \prime }-y=e^{-t},y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$$

解：两边进行拉氏变换

$$\begin{array}{rl}& s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)-Y=\frac{1}{1+s}\\ \Rightarrow & s^{2}Y-s-Y=\frac{1}{s+1}\\ \Rightarrow & Y=\frac{s^2+s+1}{(s+1{)}^2(s-1)}\\ & =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1{)}^2}+\frac{C}{s-1}\end{array}$$

留数法分解因式

$$\begin{array}{rl}A& =\underset{s\to -1}{\lim }\frac{d}{ds}(s+1{)}^2\frac{s^2+s+1}{(s+1{)}^2(s-1)}\\ & =\underset{s\to -1}{\lim }\frac{d}{ds}\frac{s^2+s+1}{s-1}\\ & =\underset{s\to -1}{\lim }\frac{(2s+1)(s-1)-(s^2+s+1)\cdot 1}{(s-1{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}B& =\underset{s\to -1}{\lim }(s+1{)}^2\frac{s^2+s+1}{(s+1{)}^2(s-1)}\\ & =\underset{s\to -1}{\lim }\frac{s^2+s+1}{s-1}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}C& =\underset{s\to 1}{\lim }(s-1)\frac{s^2+s+1}{(s+1{)}^2(s-1)}\\ & =\underset{s\to 1}{\lim }\frac{s^2+s+1}{(s+1{)}^2}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

因此

$$Y=\frac{1}{4}\frac{1}{s+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{(s+1{)}^2}+\frac{3}{4}\frac{1}{s-1}$$

拉氏反变换得

$$y(t)=\frac{1}{4}{e}^{-t}-\frac{1}{2}t{e}^{-t}+\frac{3}{4}{e}^t$$

中间这一项的反变换不太懂，下次再说。