线性代数笔记总结

线性代数

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1.行列式

1.1 行列式

基础:

• 排序: 由1,2,3…n组成的有序数列叫做n级排序,中间不能缺数.( 标准排序: N(1 2 … n ) )

• 逆序: 大权排在小权的前面

• 逆序数: 从第一个数开始,权后面有几个比它小的 例: N(4213) = 3 + 1 = 4

• 性质:

  1. 对换: 交换两个数 --> 奇偶性质改变

  2. $$n级排序中奇偶排序各\frac{n!}{2}$$

**二阶行列式: **

计算方式：对角线法则

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三阶行列式(矩阵):

计算方式：对角线法则(只适合二阶和三阶)[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-rD3hxiew-1673160230867)(线性代数.assets/image-20220930141454850.png)]

n阶行列式:

特殊行列式:

• 结论:
  $$主对线分隔:D=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

  $$次对角线分隔:D=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

反对称行列式:

• 主对角线全为0
• 上下位置对应成相反数
• 奇数阶D=0

对称行列式:
$$
形如: \left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & -1 \
1& 2&3 \
-1 & 3 & 3 \

\end{array}
\right|
\hspace{100cm}\
$$

• 主对角线无要求

• 上下位置对应相等

  ---

行列式的3种表示方法:

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1. 定义1: 按行排序
   $$\sum (-1{)}^{N(j_1{j}_2..j_n)}{a}_1{}_{j_1}{a}_2{}_{j_2}...a_n{}_{j_n}=D|a_i{a}_j|$$
   n中列标排序, a列标不重复

2. 定义2: 按列排序

3. 定义3: 既不按行也不按列
   $$既不按行也不按列\sum (-1{)}^{N(i_1{i}_n)+N(j_1{j}_n)}{a}_{i1j1}{a}_{i2j2}...a_{injn}$$

   $$
   例子:
   a_{j1}a_{2k}a_{13}a_{m2} \hspace{50cm}\

   1. \ k=4 \ i=3 \ m=4 \hspace{50cm}\
   2. \ k = 4 \ i = 4 \ m=3 \hspace{50cm}\
      $$

1.2 行列式的性质

1. $$D^T=D对行成立的性质对列也成立$$

2. $$D=0必可知以下三条件之一成立$$

   • 两行对应成比例
   • 某一行全为0
   • 两行相等

3. 两行互换, 值变号
   例 : ∣ 1 0 0 − 5 2 3 3 3 5 ∣ = D       ∣ 3 3 5 − 5 2 3 1 0 0 ∣ = − D 例: \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 5 \end{array} \right| = D \ \ \ \ \ \left| \begin{array}{cccc} 3 & 3 & 5 \\ -5 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| = -D \hspace{100cm}\\ 例: ​1−53​023​035​ ​=D      ​3−51​320​530​ ​=−D

4. 某一列都乘以k, 等于用k乘以 D
   例子 : ∣ 3 K 3 K 5 K − 5 2 3 1 K 0 K 0 K ∣ = k 2 D 例子: \left| \begin{array}{cccc} 3K & 3K & 5K \\ -5 & 2 & 3\\ 1K & 0K & 0K \\ \end{array} \right| = k^2D \hspace{100cm}\\ 例子: ​3K−51K​3K20K​5K30K​ ​=k2D

5. 是和的那一部分分开其余部分保持不变
   例子 : ∣ 3 3 5 − 5 + 8 2 + 3 3 − 10 1 0 0 ∣ =     ∣ 3 3 5 − 5 2 3 1 0 0 ∣ + ∣ 3 3 5 8 3 − 10 1 0 0 ∣ 例子: \left| \begin{array}{c} 3 & 3 & 5 \\ -5+8 & 2+3 & 3-10\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| = \ \ \ \left| \begin{array}{c} 3 & 3 & 5 \\ -5 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c} 3 & 3 & 5 \\ 8 & 3 & -10\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| \hspace{100cm}\\ 例子: ​3−5+81​32+30​53−100​ ​=    ​3−51​320​530​ ​+ ​381​330​5−100​ ​

6. 某一行乘以一个数, 加上另一行去,D不变 变形: 某一行列可真接加到另一行去

   • 准测: 想处理完1列在处理下下一列.

   $$
   例子: \left|
   \begin{array}{c}
   1 & 2 & 3 \
   1 & 1 & 0\
   9 & 9 & 10 \
   \end{array}
   \right| \ \ \ \ \ \ = \left|
   \begin{array}{c}
   1 & 2 & 3 \
   0 & -1 & -3\
   9 & 9 & 10 \
   \end{array}
   \right| \ 第一行乘以-1加到第二行\hspace{100cm}\
   \ \ \ = \left|
   \begin{array}{c}
   1 & 2 & 3 \
   0 & -1 & -3\
   0 & -9 & -17 \
   \end{array}
   \right| \ 第一行乘以-9加到第三行 \hspace{100cm}\

   = \left|
   \begin{array}{c}
   1 & 2 & 3 \
   0 & -1 & -3\
   0 & 0 & -44 \
   \end{array}
   \right| \ 第二行乘以9加到第三行 \hspace{100cm}\
   = 1 \times (-1) \times (-44) = 44 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hspace{100cm}\
   $$

1.3 行列式展开

余子式:
$$
\left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & 0 & 3 \
1 & 1 & 1 & 1\
2 & 2 & 3 & 4\
5 & 5 & 6 & 6 \
\end{array}
\right| \ \ \ \ \ =

M_{32} = \left|
\begin{array}{c}
1 & 0 & 3 \
1 & 1 & 1 \
5 & 6 & 6\

\end{array}
\right|

\hspace{100cm}\
$$代数余子式:$$
A_{32} = (-1)^{(3 + 2)}\left|
\begin{array}{c}
1 & 0 & 3 \
1 & 1 & 1 \
5 & 6 & 6\

\end{array}
\right|

\hspace{100cm}\
$$

例子:

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定理: 按某行(列)展开
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$$

• 准测: 选择0多的展开

• $$
  例子: \left|
  \begin{array}{c}
  1 & 0 & 2 \
  0 & 1 & 0 \
  2 & 3 & 5\

  \end{array}
  \right|
  = D = 1 \times (-1)^{1+1}\left|
  \begin{array}{c}
  1 & 0 \
  3 & 5\
  \end{array}
  \right|
  \ \ + 1 \times (-1)^{1+2}\left|
  \begin{array}{c}
  0 & 0 \
  2 & 5\
  \end{array}
  \right|
  \ \ + 1 \times (-1)^{1+3}\left|
  \begin{array}{c}
  0 & 3 \
  2 & 3\
  \end{array}
  \right|
  \hspace{100cm}\
  D = \ 1 \times (-1)^{2+2}\left|
  \begin{array}{c}
  1 & 2 \
  2 & 5\
  \end{array}
  \right| \ \ \ \ 选择0多的展开 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hspace{100cm}\
  $$

定理: 异乘变0 : 某行元素与另一行元素的代余式乘积之和 = 0

**拉普拉斯: ** 取K行,由K行元素组成的所有K阶子式与代数余子式乘积为D;

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$$
例子: \left|
\begin{array}{c}
1 & 2 & 0 &0 & 0 \
3& 4 & 0 & 0 &0 \
1 & 2 & 3 & 4 &5\
1 & 1 & 1 & 1 &1\
6 & 6 & 8 & 3 &1\

\end{array}
\right|

\ \
= \ \

\left|
\begin{array}{c}
1 & 2 \
3& 4 \

\end{array}
\right|
\ \
\times \ \
(-1)^{1+2+1+2}
\left|
\begin{array}{c}
3 & 4 & 5 \
1 & 1 & 1 \
8 & 3 & 1 \
\end{array}
\right|

\hspace{100cm}\
$$

• 1+2 + 1+2 表示: 第1,2行第1,2列

代数余子式之和计算技巧

• 因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系，所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值，使其刚好为代数余子式的系数，此时，代数余子式之和等于新的行列式的值

  例：

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-llo48QgQ-1673160230869)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTc4OTcw,size_16,color_FFFFFF,t_70.png)]

  求A31+2A32+3A33

  解：因为代数余子式对应的是第三行所有元素，系数依次为1，2，3，所以把A的第三行直接改为1，2，3，得到新的行列式B

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZSF3tFjg-1673160230869)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyNTc4OTcw,size_16,color_FFFFFF,t_70-16636463934341.png)]

  可见，新的行列式值为-14，所以原式等于-14

  2.第i行（或列）的元素，分别乘以第j行（或列）的元素所对应的代数余子式，之和为0（i！=j），即对于n阶行列式

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0GHLCGJW-1673160230869)(线性代数.assets/20200513111947804.png)]

  其实，这个可以看作是1的变体。因为采用方法一，将第j行（或列）改为第i行（或列）的元素后，新的矩阵中有两行一摸一样，必定不满秩，值必定为0

1.4 计算

**同阶行列式相乘: **

• 分别是第几行乘以第几列 相加

• $$
  例子: \left|
  \begin{array}{c}
  1 & 1 & 1 \
  2& 0 & 0 \
  0 & 0 & 3\

  \end{array}
  \right|

  \ \ \times \
  \left|
  \begin{array}{c}
  1 & 2 & 3 \
  1& 3 & 2 \
  3 & 2 & 1\

  \end{array}
  \right|
  \ \
  = \ \

  \left|
  \begin{array}{c}
  5 & 7 & 6 \
  2& 4 & 6\
  9 & 6 & 3\

  \end{array}
  \right|
  \hspace{100cm}\
  $$

  • 1: 第1行乘以第1列
  • 9: 第3行乘以第1列

凑三角型

• 先第1列,再2列, 依次;
• 对整行操作
• 第1列处理好后，第一行不主动参与, 可以被动

**范德蒙德: **
$$
\left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & 1 &… &1\
x_1& x_2 & x_3 &… & x_n\
…& … & … &… & …\
x^{n-2}_1& x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 &… & x^{n-2}_n\
x^{n-1}_1& x^{n-1}_2 & x^{n-1}_3 &… & x^{n-1}_n\

\end{array}
\right| \ \ \ \ \ = \prod _{1\ \leq \ j \ < \ i \leq n} (x_i - x_j)
\hspace{100cm}\
$$

$$
例子: \left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & 1 &1 \
2& -1 & 3 &6 \
…& … & … &… \

\end{array}
\right|
\hspace{100cm}\

解: D = \ \ (-1 -2)(3-2)(6-2)(3+1)(6+1)(6-3)
定前,后一个元素减前一个

\hspace{100cm}\
$$

制造行和:
$$
\left|
\begin{array}{c}
x & a & a &… &a\
a& x & a &… & a\
…& … & … &… & …\

 a &  a & a &... & x\\ 

\end{array}
\right| \ \ \ \ \ = (x+(n-1)a) \left|
\begin{array}{c}
1 & 0 & 0 \
1& x -a&0 \
…& … & … \

 1 &  a & x-a \\ 

\end{array}
\right|
\hspace{100cm}\
$$

• 列往前提, 每次提a, 提(n-a)次
• 再第1列乘-a 导致原来的x变成x-a
• (x+(n-1)x)(n-1)k

三线式:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xnabgZ0W-1673160230870)(线性代数.assets/image-20220930143207800.png)]

加边法:

三叉: 有字母,放分母,不等于0才行

解法: 每分别往第一列提, 再主角线相乘

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ielDufyy-1673160230870)(线性代数.assets/image-20220930143435135.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-upXd2coy-1673160230871)(线性代数.assets/image-20220911110256283.png)]

cramer法则(解方程组的):

条件:

• 几个方程几个未知数

• 计算量大

• $$D\ne 0$$

• $$X_j=\frac{D_j}{D}$$

例子:
$$
形如: \left {
\begin{array}{c}
x_1 + x_2 + x_3 = 1\
x_1 - x_2 + 3x_3 = 6\
-x_1 + 6x_2 + x_3 = 9\
\end{array}
\right.
\ \ \ \

\Rightarrow
D= \left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & 1 \
1& -1&3 \
-1 & 6 & 1 \

\end{array}
\right|
\ \ \ \ \ \ D_1= \left|
\begin{array}{c}
1 & 1 & 1 \
6& -1&3 \
9 & 6 & 1 \

\end{array}
\right|\ \ \
\Rightarrow

X_1 = \frac{D1}{D}\hspace{100cm}\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
其余同理 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hspace{100cm}\
$$

特殊:

• 齐次, 至少有零解.

  • 若 D不等于0 则只有x = 0;
  • 有非零解, D等于0

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-PSYUAFvb-1673160230871)(线性代数.assets/image-20221024224308790.png)]

2. 矩阵

2.1 矩阵概念

2.1.1 矩阵的定义

直观印象：由数构成的数表
( 1 a 1 a 1 2 ⋯ a 1 n 1 a 2 a 2 2 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a m a m 2 ⋯ a m n )      数表       m × n 矩阵 \begin{pmatrix} 1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\ 1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\ \end{pmatrix} \ \ \ \ \ 数表 \ \ \ \ \ \ m \times n 矩阵 ​11⋮1​a1​a2​⋮am​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​     数表      m×n矩阵

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YsGmENdF-1673160230872)(线性代数.assets/image-20220930144322214.png)]

---

2.1.2 矩阵与行列式之间的差别

	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	| |	( ) 或者 [ ]
性质	行数 一定等于 列数	行数 不一定等于 列数

---

2.1.3 矩阵分类

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hqdsVD1I-1673160230872)(线性代数.assets/image-20220930144513769.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TA5JtZd1-1673160230872)(线性代数.assets/image-20220930144746820.png)]

补充:

实矩阵

实矩阵所有元素为实数；

---

复矩阵

复矩阵所有元素为复数；

---

负矩阵

A矩阵的元素变为相反数记为-A；

---

方阵

行数=列数 为方正，n阶方阵记为A n A_nAn；

---

同型矩阵

指两个矩阵行数与列数对应相等 如:
$$A_{3\times 5}{B}_{3\times 5}$$

同型矩阵对应位置元素相等，则这两个矩阵相等记做 A=B 。

ps: 两个矩阵相等的前提是同型

---

2.2 矩阵运算

$$\begin{array}{c}a=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]\\ \\ b=\left[\begin{array}{ll}a1& a2\\ b1& b2\end{array}\right]\end{array}$$

2.3.1矩阵加法和减法

对应元素相加（减），只有同型矩阵才能加减

加法交换律：A + B = B + A
$$\begin{array}{c}a+b=\left[\begin{array}{ll}a+a1& b+a2\\ c+b1& d+b2\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{c}a-b=\left[\begin{array}{ll}a-a1& b-a2\\ c-b1& d-b2\end{array}\right]\end{array}$$

2.3.2 数乘

• 用一个数 乘以一个矩阵 则这个数乘以这个矩阵的所有元素

• 矩阵所有元素均有公因子，这个公因子只提一次。

• 行列式则是有几次提几次

  例子:

k ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) = ( k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k ) \begin{array}{c} k\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} k & 2 k & 3 k \\ 4 k & 5 k & 6 k \\ 7 k & 8 k & 9 k \end{array}\right) \end{array} k ​147​258​369​ ​= ​k4k7k​2k5k8k​3k6k9k​ ​​

2.3.3矩阵乘法

判断能否进行乘法:

• 中间相等, 取两头

  • 做乘法运算的前提条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数

  • 相乘后结果矩阵的形状：结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数

    例子:
    $$A_{3\times 5}{B}_{3\times 5}=C_{3\times 5}$$

运算规律:

• 矩阵乘法不满足交换律， 得到的形状可能不同因此分左乘和右乘 (可交换则表示AB = BA)

• $$

  1. AB \neq BA \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
     \ \ \ 2. AB = 0 \ \ 推不出 A=0 或者 B=0 \

  2. AB = 0 , A\neq0 \ \ 推不出 B=C
     $$

• AB = 0  推不出 A =  0 或者 B = 0
  

• AB = 0, A != 0    推不出 B = C
  

  例子:

  a矩阵的行元素乘以每一列然后相加作为新矩阵的行元素
  $$\begin{array}{c}\mathrm{a}\ast \mathrm{b}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}\ast \mathrm{a}1+\mathrm{b}\ast \mathrm{b}1& \mathrm{a}\ast \mathrm{a}2+\mathrm{b}\ast \mathrm{b}2\\ \mathrm{c}\ast \mathrm{a}1+\mathrm{d}\ast \mathrm{b}1& \mathrm{c}\ast \mathrm{a}2+\mathrm{d}\ast \mathrm{b}2\end{array}\right]\end{array}$$

满足分配率和结合律 :

$$
\begin{array}{c}

1. 结合:(A B) C=A(B C) \ \ \ \ \ \ \ \ \
2. 分配: (A+B) C=A C+BC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \quad C(A+B)=C A+C B \
   3)k(AB)=(kA)B = A(k B)
   \end{array}
   $$
   乘法计算演示部分过程:

对应位置相乘再加起来

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-spZUUi4m-1673160230873)(线性代数.assets/演示文稿1.gif)]

例子:
{ x 1 = y 1 − y 2 x 2 = y 1 + y 2 { y 1 = z 1 + z 2 + 2 z 3 y 2 = z 1 − 2 z 2 + z 3   { z 1 = . . . z 2 = . . . ( x 1 x 2 ) = ( 1 − 1 1 1 ) ( y 1 y 2 ) ( y 1 y 2 ) = ( 1 1 2 1 − 2 1 ) ( z 1 z 2 z 3 ) ( z 1 z 2 z 2 ) = ( 1 1 1 0 − 1 1 ) ( u 1 u 2 ) \begin{array}{l} \left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } = y _ { 1 } - y _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } = y _ { 1 } + y _ { 2 } } \end{array} \quad \left\{\begin{array} { l } { y _ { 1 } = z _ { 1 } + z _ { 2 } + 2 z _ { 3 } } \\ { y _ { 2 } = z _ { 1 } - 2 z _ { 2 } + z _ { 3 } } \end{array}\ \quad \left\{\begin{array}{l} z_{1}= ...\\ z_{2}= ... \end{array}\right.\right.\right.\\ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right) \end{array} {x1​=y1​−y2​x2​=y1​+y2​​{y1​=z1​+z2​+2z3​y2​=z1​−2z2​+z3​​ {z1​=...z2​=...​(x1​x2​​)=(11​−11​)(y1​y2​​)(y1​y2​​)=(11​1−2​21​) ​z1​z2​z3​​ ​ ​z1​z2​z2​​ ​= ​11−1​101​ ​(u1​u2​​)​
​ 解法: 对应替换就行,再做乘法运算

2.2.4 幂

• 形式:
  $$\begin{array}{l}{A}^K=\underset{k}{AA\cdots A}其中A^0=E\end{array}$$

  $$\begin{array}{l}(AB{)}^K\ne A^{K}B\\ (AB{)}^2\ne A^2{B}^2\\ (A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2(A-B{)}^2\ne A^2-2AB+B^2\\ (A+E{)}^2=A^2+2AE+E^2(A-E{)}^2=A^2-2AE+E^2\end{array}$$

2.2.5 矩阵转置

a矩阵 转置之后( 行变成列，列变成行)
$$\begin{array}{l}{\mathrm{a}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}& \mathrm{c}\\ \mathrm{b}& \mathrm{d}\end{array}\right]\end{array}$$

转置性质：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hiWFblom-1673160230873)(线性代数.assets/image-20221212111024191.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-cwUgcLb1-1673160230873)(线性代数.assets/image-20220930145252528.png)]

2.3 特殊矩阵

数量矩阵:

• 主对角线元素全为a，其余全为0，a 可以为0和1
• 结论:

$$
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{lll}
a & & \
& a \
& \ddots & \
& & & a
\end{array}\right)=a E \

\end{array}
$$

$$\begin{gathered} (aE)B=B(aE)=aB \\ AE=EA=A \\ {A}_{2\times 3}{E}_3=E_2{A}_{2\times 3} \end{gathered}$$

对角型矩阵:

• 主对角线元素全为a 1 . . . a n a_1…a_na1…an，其余全为0

  例子:
  ( k 1 k 2 k 3 ) ( 1 2 3 2 2 2 8 8 8 ) = ( k 1 2 k 1 3 k 1 2 k 2 2 k 2 2 k 2 8 k 3 8 k 3 8 k 3 )      左乘对应于行 ( 1 2 3 2 2 2 8 8 8 ) ( k 1 k 2 k 3 ) = ( k 1 2 k 2 3 k 3 2 k 1 2 k 2 2 k 3 8 k 1 8 k 2 8 k 3 )      右乘对应于列 \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ll} k_{1}\\ &k_{2} \\ & & k_{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 8 & 8 & 8 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} k_{1} & 2 k_{1} & 3 k_{1} \\ 2 k_{2} & 2 k_{2} & 2 k_{2} \\ 8 k_{3} & 8 k_{3} & 8 k_{3} \end{array}\right)\ \ \ \ \ 左乘对应于行 \\ \\ \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 8 & 8 & 8 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} k_{1} \\ &k_{2} & \\ & & k_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} k_{1} & 2 k_{2} & 3 k_{3} \\ 2 k_{1} & 2 k_{2} & 2 k_{3} \\ 8 k_{1} & 8 k_{2} & 8 k_{3} \end{array}\right)\ \ \ \ \ 右乘对应于列 \end{array} ​k1​​k2​​k3​​ ​ ​128​228​328​ ​= ​k1​2k2​8k3​​2k1​2k2​8k3​​3k1​2k2​8k3​​ ​     左乘对应于行 ​128​228​328​ ​ ​k1​​k2​​k3​​ ​= ​k1​2k1​8k1​​2k2​2k2​8k2​​3k3​2k3​8k3​​ ​     右乘对应于列​

对称矩阵:

• 对称矩阵的转置等于其本身
• 对称矩阵一定是方阵
• 一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵：
  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Cra8usrO-1673160230874)(线性代数.assets/image-20220918201537811.png)]
• 对称矩阵的加法、减法、数乘仍然是对称的，然而乘积不一定对称，因为AB不一定等于BA

$$

1. (A+B)^{T}=A{T}+B^{T}=A+B \

2. (A-B)^{\top}=A{\top}-B^{\top}=A-B \

3. (k A)^{T}=k A^{\top}=k A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

4. (A \cdot B)^{\top}= B^{\top} A^{\top}=BA \neq A B
   $$

• 定理1 :
  KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 3: {$̲} A,B对称 \Leftr…
  例子:
  $$
  AA^T 与 ATA都对称 \
  \begin{array}{l}
  1. \left(A A^{{\top}\right)}{\top}=\left(A^{{\top}\right)}{\top} A^{\top}=A A^{\top} \
  2. \left(A^{\top} A\right)^{\top}=A{\top}\left(A^{{\top}\right)}{\top}=A^{\top} A
     \end{array}
     $$

反对称矩阵:

• 反对称矩阵的主对角线全为0（对称矩阵的主对角线没有要求）

• 反对称矩阵的转置等于其本身的相反数 :
  $$A^T=A$$

2.4 逆矩阵

2.4.1 方阵的行列式

基础知识:

• 形式: | 矩阵A |
  方阵 : A = ( 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ) 方阵行列式 : ∣ A ∣ = ∣ 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ∣ = 0 方阵: A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad方阵行列式: |A|=\left|\begin{array}{lll} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=0 方阵:A= ​231​231​231​ ​方阵行列式:∣A∣= ​231​231​231​ ​=0
  ps: 行列式是矩阵的一个属性，矩阵有很多属性如：特征值、特征向量、行列式…

  求行列式就相当于求值

• 性质

• [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0aZANJn0-1673160230874)(线性代数.assets/image-20220930145352555.png)]
  $$
  \begin{array}{l}
  性质1: \quad\left|A^{\top}\right|=|A|
  \ 性质2: \ \ \ \ |k A|=k^{n}|A| \ \ n 是阶数
  \性质3: \quad|A B|=|A| \cdot|B| \

  \end{array}
  $$
  例子: 求行列式 , A 5阶 |A| = 3

  |-A| = (-1)^5 |A| = -3
  
  ||||A|A|A|A| = 从里往外提, |A|=3
  = |||3A|A|A|
  = ...
  

2.4.2 伴随矩阵

• 形式: [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pcIc8nEe-1673160230875)(线性代数.assets/image-20220918220145992.png)]

• 只有方阵才有伴随矩阵

  求解:

  • 1、求所有元素的代数余子式
  • 2、按行求的代数余子式按列放，构成一个矩阵就是伴随矩阵记为A ^* 口诀：按行求，按列放

​ 例子:
$$
\begin{array}{c}
\begin{array}{l}
& A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \ 2 & 1& 3 \ 1 & 1 & 4\end{array}\right) \quad \text { }\end{array}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 求余子式: \ \ \ \ \
\begin{array}{lll}
A_{11}=1 & A_{12}=-5 & A_{13}=1 \
A_{21}=-3 & A_{22}=3 & A_{23}=0 \
A_{31}=2 & A_{22}=-1 & A_{33}=-1
\end{array}

\按行求，按列放:
\quad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 2 \
-5 & 3 & -1 \
1 & 0 & -1
\end{array}\right)

\end{array}
$$

• 定理:

  推论: 对任意方阵A都成立：
  $$
  \begin{array}{c}
  A A^{*}=A{*} A=|A| E
  \end{array}

  \begin{array}{c}

  \end{array}
  $$

$$\left|{\mathrm{A}}^{\ast }\right|=|\mathrm{A}{|}^{\mathrm{n}-1}$$

2.4.3 逆矩阵

永远不要把矩阵放在分母上, 逆矩阵可以解决该问题

基础知识:

• 定义:

  对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-J8eDYIRa-1673160230875)(线性代数.assets/format,png.png)]则称B是A的一个逆矩阵。

  A 的逆矩阵记作[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BdLR37fc-1673160230875)(线性代数.assets/20201208200403841.png)] 。

• 性质定理

  1. 未必所方均可逆

  2. 可逆,则逆矩阵唯一

  3. [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tJIuM6q2-1673160230876)(线性代数.assets/image-20220918223142966.png)]

判断一个矩阵可逆:

• [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9J8m001d-1673160230876)(线性代数.assets/image-20220930150426040.png)]
  • 定理:

​ 当 |A| 不等于0时有:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E1eDwBvL-1673160230877)(线性代数.assets/format,png-166350922826042.png)]

$$\begin{array}{c}推论:\\ AB=E(BA=E)得到A可逆A^{-1}=B\end{array}$$

逆矩阵的性质:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7UZ7E0OI-1673160230877)(线性代数.assets/image-20220918225954671.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tnGpiCBJ-1673160230878)(线性代数.assets/image-20221212101853449.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sAY5jClY-1673160230878)(线性代数.assets/image-20221212101427268.png)]

标准例题

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jurvuUC8-1673160230879)(线性代数.assets/image-20220930150057309.png)]

例子: 解矩阵方程

• 注意方向

• 先判断可逆,才能写逆矩阵

• 矩阵不能放在分母
  $$
  \begin{array}{l}解方程 : A x=A+2 x \
  解:\
  Ax-2 x=A \
  (A-2 E) x=A \

  判断(A-2 E)可逆\
  \ \ \ \ \ \ \ \ …\
  (A-2 E)^{-1}(A-2 E) = A(A-2 E)^{-1}\
  x=(A-2 E)^{-1}A
  \x=\frac{1}{|A-2 E|}(A-2 E)^{*}A
  \end{array}
  $$

例子3:

二阶矩阵求逆矩阵 :

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-b7bhjdQL-1673160230879)(线性代数.assets/image-20221212100133560.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jj7gF3If-1673160230880)(线性代数.assets/image-20220930150719150.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-lAweoeWg-1673160230880)(线性代数.assets/image-20220930151114978.png)]

2.4.3.1 求解逆矩阵方法

伴随矩阵法:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MaNI4ykm-1673160230880)(线性代数.assets/image-20220918230431918.png)]

初等变换法:(常用)

2.6 分块矩阵

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tDXMbVOi-1673160230881)(线性代数.assets/20161129110014042.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-cTNE1M1O-1673160230881)(线性代数.assets/20161129110111774.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-44mZ2yAR-1673160230881)(线性代数.assets/20161129110548229.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eStv7Nfk-1673160230881)(线性代数.assets/20161129110645620.png)]

分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-5xx4YZGo-1673160230882)(线性代数.assets/20161129110953961.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WOS6n447-1673160230882)(线性代数.assets/20161129111153779.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZFk0PFsh-1673160230882)(线性代数.assets/20161129111411062.png)]

2.7 初等方阵及初等变换法求逆阵

2.7.1 初等变换

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YJaIIzXT-1673160230883)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16.png)]

矩阵初等变换与行列式变换对比 当A是方阵时的:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-uECLBeyh-1673160230883)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_18,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16.png)]

2.7.2 初等方阵

初等方阵：对 E 做一次初等变换得到的矩阵（交换两行 、用k（k！=0）乘以某行、某行的H倍加到某一行）

分类:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DAVlP4Ma-1673160230884)(线性代数.assets/image-20220930153543301.png)]

一个矩阵通过左（右）乘一个初等方阵来进行初等行（列）变换:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hto8Nzak-1673160230884)(线性代数.assets/image-20220930154859705.png)]

性质:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9xfVh1Na-1673160230884)(线性代数.assets/image-20220930155258730.png)]

引入初等方阵，就是为了让初等变换变得一个数学计算的过程。

2.7.3 初等变换求逆矩阵

解题思路（只做初等行变换不能做列变换）

• 先第1列,再2列, 依次;
• 对整行操作
• 第1列处理好后，第一行不主动参与, 可以被动
• 如果左边化不成单位矩阵,则A不可逆

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-b7Nd59DQ-1673160230885)(线性代数.assets/image-20220930161120356.png)]

验证: 就是判断是否可逆方法

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-RuWEkfQn-1673160230885)(线性代数.assets/image-20220930180128927.png)]

2.8 矩阵的秩

1. 秩

取1阶子式，2阶子式···一直取到最大的子式，==最大的非零子式==就表示矩阵的秩

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zHpgANbG-1673160230885)(线性代数.assets/image-20221015181150915.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pVRDmHgz-1673160230886)(线性代数.assets/image-20221007171545762.png)]

所有r+1阶子式也为0，因为高阶展开为低阶，低阶为0 ，高阶必为0

标准例题

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Olicurdb-1673160230886)(线性代数.assets/image-20221015180352806.png)]

标准例题

矩阵是阶梯型求秩:

r(A) = 非零行的行数

1:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DHvZwUtJ-1673160230887)(线性代数.assets/image-20221007174424919.png)]

2:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xlHUfLre-1673160230887)(线性代数.assets/image-20221007172659045.png)]

**A化为阶梯型: **

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-p9moV7Be-1673160230887)(线性代数.assets/image-20221007174143573.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TFir1poe-1673160230888)(线性代数.assets/image-20221007173928296.png)]

性质:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-dK602Hjc-1673160230888)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-16651354539132.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-OaQEzvrQ-1673160230889)(线性代数.assets/image-20221212103803564.png)]

七、矩阵性质总结

性质1：单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1。
性质 2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。
性质 3：行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。
性质4：矩阵中有俩行一样，矩阵的行列式为0。
性质 5：用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。
性质 6：当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。
性质 7：如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。

性质 8：如果矩阵是可逆的那么矩阵的行列式不等于0，反之行列式为0
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kGRFkfhK-1673160230889)(线性代数.assets/20210428213647240.png)]

性质 10：转置矩阵的行列式不变

3. 向量组的线性相关性

3.1 向量组的线性相关性

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-GM16A7Hx-1673160230889)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70.jpeg)]

考点:

3.1.1线性组合

判断一个向量能否被向量组线性表示

解题步骤:

解方程组, 不管给的向量是行和列, a1…an 均做成方程组列标, b按列均做成方程组右端常数项

方法1:

[

ps:

• 线性组合 <—> 方程有解
• 不是组合 <—> 方程无解

考点:

3.1.2 向量组相关性和无关性

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ndFbRrZ8-1673160230889)(线性代数.assets/image-20221015173622584.png)]

ps:

• 相关 <—> 非零解

• 无关 <—> 只有零解

例子1:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YdQYNXW9-1673160230890)(线性代数.assets/image-20221015173034531.png)]

---

其中满足如下条件就有个结论:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YhBs74Po-1673160230890)(线性代数.assets/image-20221015173210424.png)]

例子:

---

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-mUaBuSDy-1673160230891)(线性代数.assets/image-20221015171724118.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-umMGrHxq-1673160230891)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582552622212.jpeg)]

**结论 : **

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pfgfiMNi-1673160230891)(线性代数.assets/image-20221015171106661.png)]

结论:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SAInpAun-1673160230892)(线性代数.assets/image-20221015175942912.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8hZNhwgB-1673160230892)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582803260273.jpeg)]

例子1:

证明线性相关性:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UALEZqwN-1673160230892)(线性代数.assets/image-20221015175313737.png)]

例子2:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0QqTKKMw-1673160230893)(线性代数.assets/image-20221015182647497.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Umj4ZVA4-1673160230893)(线性代数.assets/image-20221015182550302.png)]

3.2 向量的秩

极大无关值:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-R3qXbrbI-1673160230893)(线性代数.assets/image-20221015181609430.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HfiVx07w-1673160230893)(线性代数.assets/image-20221015182238999.png)]

向量的秩:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hP7j5rVF-1673160230894)(线性代数.assets/image-20221015183028195.png)]

计算秩方法:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-dKZYdmBe-1673160230894)(线性代数.assets/image-20221015203037176.png)]

ps :

• 求阶梯型

• 全0行直接抹掉

补充:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1zHuQAl4-1673160230894)(线性代数.assets/image-20221015181929540.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6pfL4s41-1673160230894)(线性代数.assets/image-20221015201057671.png)]

矩阵的行秩和列秩:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vUMQXsvu-1673160230895)(线性代数.assets/image-20221015201125818.png)]

求向量组的极大无关组:****

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-JhsAb2EJ-1673160230895)(线性代数.assets/image-20221212164734859.png)]

//

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-V1AZAfBW-1673160230895)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784526916.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Yk2acfz2-1673160230896)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784526917.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-oL2EQ9iB-1673160230896)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784526918.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-o8nWaJMp-1673160230897)(线性代数.assets/image-20221015211539024.png)]

4. 线性方程组

以前用消元法 ----> 现在用矩阵/向量来实现

矩阵表示形式:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-D7aUGGYW-1673160230897)(线性代数.assets/image-20221015205808456.png)]

向量表示形式

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vVMNbq1z-1673160230897)(线性代数.assets/image-20221015205831119.png)]

4.1 线性方程组的有解判定

公式:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ohzZLLWA-1673160230898)(线性代数.assets/image-20221015205155374.png)]

计算步骤:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-19fRQJkm-1673160230898)(线性代数.assets/image-20221015210304214.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7X3OXoeY-1673160230898)(线性代数.assets/image-20221015205431708.png)]

例子:

记忆: 虚线左边化为阶梯型, 看拐不拐弯

补充:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8lEqPJwW-1673160230899)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582883450675.jpeg)]

了解即可(后面会深入讲解):

4.2 齐次方程组解的结构

用矩阵表示形式:

增广矩阵和原本的矩阵一样

特点;

齐次方程组新增的解的判定:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SAHHdzlg-1673160230899)(线性代数.assets/image-20221015212107234.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DKiS1VhZ-1673160230899)(线性代数.assets/image-20221015212554283.png)]

齐次方程组求解:

求的是通解

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SLHdOSpI-1673160230899)(线性代数.assets/image-20221015213118037.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4pMkndbo-1673160230900)(线性代数.assets/image-20221212161547204.png)]

ps:

• 解析个数 : n - r(A)

例子2:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7L4Kq3NV-1673160230900)(线性代数.assets/image-20221015214849942.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MzqrQXpy-1673160230900)(线性代数.assets/image-20221015215002809.png)]

4.3 非齐次方程组解的结构

求的是通解

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KbIKtkNm-1673160230900)(线性代数.assets/image-20221015215327500.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hHEK1Zmn-1673160230901)(线性代数.assets/image-20221015215501044.png)]

ps:

• Ax = b 的特解
• Ax = 0 的基础解析解

例子

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-c1nVJzxK-1673160230901)(线性代数.assets/image-20221212163832124.png)]怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕怕[{{}}

一个未知量就取1

解析解:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sW1K8iUo-1673160230901)(线性代数.assets/f31fbe096b63f624bc2e6c629744ebf81a4ca364.jpeg)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4nXYmtF7-1673160230906)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527020.jpeg)]

matlab

1. 齐次方程组的通解：

   齐次线性方程组矩阵形式：AX=0;

   Matlab语言格式：Z = null(A,‘r’) Z的列向量是方程组的基础解系

   如

   

   怕[-

非齐次线性方程组 ：

  非齐次线性方程组的一般形式：AX=b;

解方程组如下：

超定方程：

 超定方程组是方程个数大于未知数个数的线性方程组，只有近似的最小二乘解。

 Matlab语言格式：X=pinv(A)*b

解超定方程组：

5. 相似矩阵及二次型

5.1 特征值与特征向量

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-nNnme0uK-1673160230909)(线性代数.assets/image-20221015221158909.png)]

ps:

• 特征值不为0, 特征向量可以为0

**计算: **

前提知识: 初等方阵的变换:

核心:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0DuwfPNB-1673160230909)(线性代数.assets/image-20221015222852466.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-l6skZvle-1673160230909)(线性代数.assets/image-20221015223023655.png)]

这里解齐次线性方程组，得到基础解, 基础解是用减号

例子:

取1:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-USHEFAPX-1673160230910)(线性代数.assets/image-20221212162558532.png)]

补充:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sTB8qM3y-1673160230910)(线性代数.assets/image-20221016141848879.png)]

5.2 特征向量和特征值的性质

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3tZvrZB1-1673160230910)(线性代数.assets/image-20221016141903240.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-K8jGa5PO-1673160230910)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527022.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tOxQQH4t-1673160230911)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527023.jpeg)]

5.3 矩阵的相似变换

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SlK27IP7-1673160230911)(线性代数.assets/image-20221016142434105.png)]

总结:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wRqFcVIM-1673160230911)(线性代数.assets/image-20221016142825137.png)]

5.2.1 方阵A(方阵)可对角化的条件

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ScLck8SO-1673160230911)(线性代数.assets/image-20221016143458902.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-cGDg8biZ-1673160230912)(线性代数.assets/image-20221016144327558.png)]

ps:

定理:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wVLua1eU-1673160230912)(线性代数.assets/image-20221016150623132.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-79I1AX5e-1673160230912)(线性代数.assets/image-20221016154407829.png)]

是否相似:

• 单根 --> 一定相似
• 重根 —> 重根个数 == 解析解 则 相似
• 充要条件: 有n个线性无关的特征向量

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-v1GYyUOA-1673160230913)(线性代数.assets/image-20221016143933844.png)]

特征向量和特征值:

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1LlAHaiz-1673160230913)(线性代数.assets/image-20221016145945619.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xS38za0L-1673160230913)(线性代数.assets/image-20221016150317461.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-k7e8pSro-1673160230914)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527026.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UpM9Kp4r-1673160230914)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527127.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kcVh1OgV-1673160230915)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527328.jpeg)]

5. 4 实对称矩阵的对角化

5.4.1 内积

内积:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YIv1ik0t-1673160230915)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_19,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16.png)]!

内积性质:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kv00ewXM-1673160230915)(线性代数.assets/image-20221016151651265.png)]

5.4.2 矩阵的模

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-fx74cjdI-1673160230916)(线性代数.assets/image-20221016151927341.png)]

性质 :[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7kT48tiF-1673160230916)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-166590441832682.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0e3IOrnC-1673160230916)(线性代数.assets/image-20221016152317854.png)]

正交向量组:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Sy6ZQJxJ-1673160230916)(线性代数.assets/image-20221016152111075.png)]

补充:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-T8iuOpE9-1673160230917)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527432.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BUv5HMHo-1673160230917)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527533.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YbJaXbY7-1673160230917)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527534.jpeg)]

5.4. 3 施密特正交

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ozWSc9xd-1673160230917)(线性代数.assets/image-20221016152912028.png)]

例子:

5.4.3. 1 求施密特正交和单位化

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jFaj8vmY-1673160230918)(线性代数.assets/image-20221016153143406.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LKO4ikH3-1673160230918)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527429.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-gziGItO6-1673160230918)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527430.jpeg)]

5.4.3. 2 正交矩阵

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2X7aS0hK-1673160230919)(线性代数.assets/image-20221016153719559.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7T5c1wtS-1673160230919)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-166590599060389.png)]

5.5 实对称矩阵的对角化（全是实数）

ps: 一定能对角化

实对称矩阵的对角化:

解题思路:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-N7wx6ftN-1673160230919)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-166590601531792.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-93v3wvWE-1673160230919)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-166590601531793.png)]

ps:

• 单根不要进行求施密特正交

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BSPKofKC-1673160230920)(线性代数.assets/image-20221016155124327.png)]

补充: =

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tYq7Z4kR-1673160230920)(线性代数.assets/image-20221016153233401.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-YPh0Gbkq-1673160230921)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527431.jpeg)]

6. 二次型及其标准化

6.1 二次型的定义

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8YTUI6vq-1673160230921)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-166590723097399.png)]

二次型---->矩阵表达式

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EajlSHn5-1673160230922)(线性代数.assets/image-20221016162417804.png)]

矩阵表达式---->二次型

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-GTMbBwQ9-1673160230922)(线性代数.assets/image-20221016162559787.png)]

6.2 标准形

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-d3p7vjRD-1673160230923)(线性代数.assets/image-20221016162802179.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zbs5jKXK-1673160230923)(线性代数.assets/image-20221016162903025.png)]

---

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0wZBoriN-1673160230923)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_18,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16.png)]

合同定义:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vlBRvR3m-1673160230924)(线性代数.assets/image-20221016163130002.png)]

对比:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9EIRJbTl-1673160230924)(线性代数.assets/image-20221016163344936.png)]

6.3 二次型化标准型（配方法）

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-26rKniXP-1673160230925)(线性代数.assets/image-20221016163959901.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VHvRGTtN-1673160230925)(线性代数.assets/image-20221016164356743.png)]

特殊情况

没有平方项:

解法: 固定

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-panavXsy-1673160230925)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-1665907230975109.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZN6KWjIz-1673160230926)(线性代数.assets/image-20221016164544748.png)]

6.4 二次型化标准型（初等变换，正交替换）

6.4.1 初等变换

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-a70Nb4de-1673160230926)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-1665907230975110.png)]

解法:

ps:

• 行, 列变换依次进行

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-X6gKnbqV-1673160230926)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16-1665907230975111.png)]

例子:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eCNAc9mO-1673160230926)(线性代数.assets/image-20221016165353298.png)]

6.4.2 正交替换

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-dChitVqX-1673160230927)(线性代数.assets/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBAQmlsaV9pY2VfY3ViZQ==,size_15,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16.png)]

补充:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2mpYpFSX-1673160230927)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527535.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-lzGGyySm-1673160230928)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527536.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LjkAjwaZ-1673160230928)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527537.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9Welw3p8-1673160230928)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527538.jpeg)]

---

6.5 惯性定理与正定二次

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-H7xhfjMJ-1673160230929)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527539.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qdQbiufK-1673160230929)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527540.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-htRWJzWb-1673160230929)(线性代数.assets/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxNDk4MjYx,size_16,color_FFFFFF,t_70-166582784527541.jpeg)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WQVxHMzZ-1673160230930)(线性代数.assets/image-20221016170355723.png)]

---

6.6 有定性

6.7 有定性的判别

7.线性空间

7.1 基维数坐标

代码版

hls : 参数: 矩阵/行列式 作用:求行列式的值

yzs: 参数: 矩阵, 行 , 列 作用:求余子式

dsyzs: 参数: 矩阵, 行 , 列 作用: 求代数余子式

zz: 参数: 矩阵 作用: 转置

bsjz: 参数: 矩阵 作用: 求伴随矩阵

ljz: 参数: 矩阵 作用:求逆矩阵

eye(2,3): 单位矩阵

jzz 参数: 矩阵 作用: 求矩阵秩

txjz : 参数:矩阵 作用: 求出梯形矩阵

xxzh : 线性组合思路

xgx: 相关性思路

xlz: 参数: 多个列向量 作用: 求向量秩

fcyj: 方程有解思路

qcfc: 齐次方程有解思路

fqctj() 非齐次方程通解思路

qctj() 齐次方程通解思路

tz 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数 作用: 求特征值特征向量

xs 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数 作用: 判断相似

**zj: ** 参数:矩阵 作用: 判断是不是正交矩阵

djh: 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数

dwh: 参数: 矩阵 作用: 求单位化

smtzj() 参数矩阵 作用: 求施密特正交

nj() 参数(矩阵, 矩阵 作用求内积)

矩阵运算 :

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CVtiX0Jq-1673160230930)(线性代数.assets/image-20221207102937721.png)]
BoriN-1673160230923)]

合同定义:

[外链图片转存中…(img-vlBRvR3m-1673160230924)]

对比:

[外链图片转存中…(img-9EIRJbTl-1673160230924)]

6.3 二次型化标准型（配方法）

[外链图片转存中…(img-26rKniXP-1673160230925)]

[外链图片转存中…(img-VHvRGTtN-1673160230925)]

特殊情况

没有平方项:

解法: 固定

[外链图片转存中…(img-panavXsy-1673160230925)]

[外链图片转存中…(img-ZN6KWjIz-1673160230926)]

6.4 二次型化标准型（初等变换，正交替换）

6.4.1 初等变换

[外链图片转存中…(img-a70Nb4de-1673160230926)]

解法:

ps:

• 行, 列变换依次进行

[外链图片转存中…(img-X6gKnbqV-1673160230926)]

例子:

[外链图片转存中…(img-eCNAc9mO-1673160230926)]

6.4.2 正交替换

[外链图片转存中…(img-dChitVqX-1673160230927)]

补充:

[外链图片转存中…(img-2mpYpFSX-1673160230927)]
[外链图片转存中…(img-lzGGyySm-1673160230928)]
[外链图片转存中…(img-LjkAjwaZ-1673160230928)]
[外链图片转存中…(img-9Welw3p8-1673160230928)]

---

6.5 惯性定理与正定二次

[外链图片转存中…(img-H7xhfjMJ-1673160230929)]
[外链图片转存中…(img-qdQbiufK-1673160230929)]
[外链图片转存中…(img-htRWJzWb-1673160230929)]
[外链图片转存中…(img-WQVxHMzZ-1673160230930)]

---

6.6 有定性

6.7 有定性的判别

7.线性空间

7.1 基维数坐标

代码版

hls : 参数: 矩阵/行列式 作用:求行列式的值

yzs: 参数: 矩阵, 行 , 列 作用:求余子式

dsyzs: 参数: 矩阵, 行 , 列 作用: 求代数余子式

zz: 参数: 矩阵 作用: 转置

bsjz: 参数: 矩阵 作用: 求伴随矩阵

ljz: 参数: 矩阵 作用:求逆矩阵

eye(2,3): 单位矩阵

jzz 参数: 矩阵 作用: 求矩阵秩

txjz : 参数:矩阵 作用: 求出梯形矩阵

xxzh : 线性组合思路

xgx: 相关性思路

xlz: 参数: 多个列向量 作用: 求向量秩

fcyj: 方程有解思路

qcfc: 齐次方程有解思路

fqctj() 非齐次方程通解思路

qctj() 齐次方程通解思路

tz 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数 作用: 求特征值特征向量

xs 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数 作用: 判断相似

**zj: ** 参数:矩阵 作用: 判断是不是正交矩阵

djh: 参数: 矩阵, 单位矩阵行数, 单位矩阵列数

dwh: 参数: 矩阵 作用: 求单位化

smtzj() 参数矩阵 作用: 求施密特正交

nj() 参数(矩阵, 矩阵 作用求内积)

矩阵运算 :

[外链图片转存中…(img-CVtiX0Jq-1673160230930)]