雷达方程 与 根据用途演化的其它形式

目录

基本雷达方程

1. 跟踪

2. 立体空域搜索

3. 干扰

4. 杂波

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        雷达究竞能在多远的距离发现（检测到）目标，这要由雷达方程来回答。雷达方程将雷达的作用距离和雷达发射、接收、天线和环境等因素联系起来，因此它不仅可以用来决定雷达检测某类目标的最大作用距离，也可以作为了解雷达的工作关系和用做设计雷达的一种工具。

        下面根据雷达的基本工作原理来推导自由空间的雷达方程。

        设雷达发射机功率为  ，当用各向均匀辐射的天线发射时，距雷达  远处任一点的功率密度  等于功率被假想的球面积（雷达向空间中各个方向发射从而形成一个球体）  所除，即

        实际雷达总是使用定向天线将发射机功率集中辐射于某些方向上。天线增益  用来表示相对于各向同性天线，实际天线在辐射方向上功率增加的倍数。因此当发射天线增益为时，距雷达  处目标所照射到的功率密度为

        目标截获了一部分照射功率并将它们重新辐射于不同的方向，用  （又称：RCS Radar Cross Section）来表示被探测目标的雷达截面积，若  越大，则反射回雷达的功率就越大，反之则越小。用如下公式来表示雷达的回波信号功率密度： 

          的大小随具体目标而异，它可以表示目标被雷达“看见”的尺寸。雷达接收天线只收集了回波功率的一部分，设天线的有效接收面积为  ，则雷达收到的回波功率  为

         当接收到的回波功率  等于最小可检测信号  时，雷达达到其最大作用距离，超过这个距离后，就不能有效地检测到目标：

         通常收发共用天线，天线增益  和它的有效接收面积  具有以下关系：

         因此基本方程又可以写成以下形式：

         上述基本雷达方程可以正确地反映雷达各参数对其检测能力影响的程度，但并不能充分反映实际雷达的性能，这是因为许多影响作用距离的环境和实际因素在方程中没有被包括。关于雷达作用距离的深入讨论将在第5章展开。

雷达原理第5章：

雷达作用距离

        雷达的最基本任务是探测目标并测量其坐标，因此，作用距离是雷达的重要性能指标之一，它决定了雷达能在多大的距离上发现目标。作用距离的大小取决于雷达本身的性能，其中有发射机、接收系统、天线等分机的参数，同时又和目标的性质及环境因素有关。

        通常噪声是检测并发现目标信号的一个基本限制因素。由于噪声的随机特性，使得作用距离的计算只能是一个统计意义上的量。再加上无法精确知道目标特性以及工作时的环境因素，从而使作用距离的计算只能是一种估算和预测。然而，对雷达作用距离的研究工作仍是很有价值的，它能表示出当雷达参数或环境特性变化时相对距离变化的规律。雷达方程集中地反映了与雷达探测距离有关的因素以及它们之间的相互关系。研究雷达方程可以用它来估算雷达的作用距离，同时可以深入理解雷达工作时各分机参数的影响，对于雷达系统设计中正确地选择分机参数具有重要的指导作用。

雷达方程

        本节先集中研究最常用的一次雷达，它是依靠目标后向散射的回波能量来探测目标的。下面推导基本雷达方程，以便确定作用距离和雷达参数及目标特性之间的关系。首先讨论在理想无损耗、自由空间传播时的单基地雷达方程，然后再逐步讨论各种实际条件的影响。

基本雷达方程

        设雷达发射功率为  ，雷达天线的增益为  ，则在自由空间工作时，距离雷达天线  的目标处的功率密度  为

        目标受到发射电磁波的照射，因其散射特性而将产生散射回波。散射功率的大小显然和目标所在点的发射功率密度  ；以及目标的特性有关。用目标的散射截面积  来表征其散射特性。若假定目标可将接收到的功率无损耗地辐射出来，则可得到由目标散射的功率（二次辐射功率）为

        又假设  均匀地辐射，则在接收天线处收到的回波功率密度为

         如果雷达接收天线的有效接收面积为  ，则在雷达接收处回波功率为  ，而

         由天线理论知道，天线增益和有效面积之间有以下关系：

                                                  （5.1.4）

         式中， 为所用波长，则接收回波功率可写成如下形式：

                                                （5.1.6）

        单基地脉冲雷达通常是收发共用天线，即 ，将此关系式带入以上两式即可得到常用结果。

        由式(5.1.4)~式(5.1.6）可看出，接收的回波功率  反比于目标与雷达站间的距离  的四次方，这是因为一次雷达中，反射功率经过往返双倍的距离路程，能量衰减很大。接收到的功率  必须超过最小可检测信号功率  ，雷达才能可靠地发现目标，当 正好等于 时，就可得到雷达检测该目标的最大作用距离。因为超过这个距离，接收的信号功率  进一步减小，因此不能可靠地检测到该目标。它们的关系式可以表达为

                                                 （5.1.8）

                                                （5.1.9）

         式(5.1.8)、式(5.1.9)是雷达距离方程的两种基本形式，它表明了作用距离  和雷达参数以及目标特性间的关系。在式(5.1.8）中， 与  成反比，而在式(5.1.9)中， 却和 成正比。这是由于当天线面积不变时，波长  增加时天线增益下降，导致作用距离减小；而当天线增益不变时，波长增大时要求的天线面积亦相应加大，有效面积增加，其结果是作用距离加大。雷达的工作波长是整机的主要参数，它的选择将影响到诸如发射功率、接收灵敏度、天线尺寸、测量精度等众多因素，因而要全面权衡。

        雷达方程虽然给出了作用距离和各参数间的定量关系，但因未考虑设备的实际损耗和环境因素，而且方程中还有两个不可能准确预定的量：目标有效反射面积  和最小可检测信号，因此它常用来作为一个估算的公式，考察雷达各参数对作用距离影响的程度。

        雷达总是在噪声和其他干扰背景下检测目标的，再加上复杂目标的回波信号本身也是起伏的，故接收机输出的是随机量。雷达作用距离也不是一个确定值，而是统计值，对于某雷达来讲，不能简单地说它的作用距离是多少，通常只在概率意义上讲，当虚警概率（如）和发现概率（如90%）给定时的作用距离是多大。

        方程中的最小可检测信号是个统计量，它必须用检测概率和虚警概率来描述，为了在接收机检测判决点上信号能被可靠地检取，必须大于噪声（通常为10~20dB)。最小可检测信号可表示为可靠检测所需的信噪比与接收机噪声的乘积。接收机噪声用相对于理想接收机产生的热噪声来表示。热噪声等于，其中，是玻耳兹曼常数；是热力学温度；是接收机带宽。接收机噪声为热噪声与接收机噪声系数的乘积。接收机噪声系数是相当于基准温度（，接近室温）测定的，此时，W/Hz。雷达方程中最小可检测信号可写为

 

        有时，因子用系统噪声温度代替。

        上面根据信号功率讨论了雷达方程。虽然功率是由矩形脉冲组成的常用雷达波形的一种为人熟知的特性，但对于更复杂的波形，总信号能量通常是波形可检测性的更方便的测量标准。从理论上看，它也更恰当。基于统计检测理论的理论分析，信号能量与噪声能量的比值(记为）是一个比信号功率与噪声功率之比更基本的参数。无论接收波形如何，只要接收机被设计为一个匹配滤波器，匹配滤波器输出端信噪（功率）比的峰值为。

        对于宽度为的矩形脉冲，信号功率是，噪声功率是，其中，为信号能量；为噪声能量或单位带宽的噪声功率（假设噪声在频域内是均匀分布的)；为接收机带宽。用这些变量表示，就等于，代入基本雷达方程得到

                                         (1.5)

        式中，是发射波形的能量。虽然上式假定发射波形是矩形脉冲，但是只要是发射波形所包含的能量及噪声系数为的接收机被设计成匹配滤波器，它也适用于任何波形。某些已发表的雷达检测理论给出检测概率和虚警概率时用，而不用当这些结论假定是在最佳(匹配滤波器）处理条件下取得的，雷达方程所要用的值可由的表达式获得。

        雷达方程根据具体的用途可演化成多种形式。以下给出几个实例。

1. 跟踪

        在这种情况下，假定雷达连续跟踪或在时间间隔内“照射”目标。于是可由式(1.5)导出跟踪或“照射”雷达方程为

                                        （1.6）

         式中，，因此，当跟踪雷达必须“看”远距离时，雷达的平均功率必须高，目标的照射时间必须长，天线的电尺寸和物理尺寸必须大。在此方程中，频率没有以显函数的形式引入。由于小型天线比大型天线更容易做机械运动，所以跟踪雷达通常工作在较高的频率，此时小孔径可得到高增益和足够大的和乘积。

        跟踪雷达方程是以检测能力为基础的。跟踪雷达还必须按良好的角精度来设计。窄波束(大）和高(大）值可获得好的角精度。所以，大  乘积和好的跟踪精度及好的检测能力是一致的。

2. 立体空域搜索

        假设雷达必须在时间内完成对立体角为的空域的搜索。如果天线波束所张的立体角为，则天线增益约为。如果天线在波束对着的每个方向上逗留的时间为，则总的扫描时间为 。将这些表达式代入式（1.5)，并注意到，

                                     （1.7）

        因此，对立体空域搜索雷达来说，获得最大作用距离的两个重要参数是平均发射机功率和天线孔径。任何搜索时间的减少或搜索范围的增大都必然伴随着乘积的相应增大。注意，频率没有明显写在式内。

3. 干扰

        当雷达信号的检测受到人为的噪声干扰机等外部干扰源的限制，而不是受到接收机噪声的限制时，决定测距性能的重要参数与上面的略有不同。单位带宽的接收机噪声功率现在由干扰机而不是由接收机噪声系数决定。当雷达执行空域搜索，而干扰功率由特定的方向沿天线副瓣进入时，则雷达的最大的作用距离可写为

                                     （1.8）

        式中，为相对于主瓣的副瓣电平（值小于1)；为干扰机距离；为干扰机带宽；为干扰机功率；为干扰机天线增益；为可靠检测必需的信号功率和单位带宽噪声功率的比值。平均功率是重要参数，天线副瓣也很重要。用进入天线副瓣的单位带宽干扰噪声功率代替式(1.7）中的，可得到式(1.8)。只有当接收机正常噪声与干扰噪声相比可忽略不计时，才能用上述方程。

        当雷达集中照射携带有干扰机的目标（有时称为烧穿工作模式）时，作用距离变为

                              （1.9）

        重要的雷达参数是平均功率、观察目标的时间和发射天线增益。最大作用距离是2次幂，而不像雷达方程的其他形式一样是4次幂。注意，上述两个例子都没有明确写明天线孔径的面积。大孔径接收更多的信号，但同时它也收集到更多的干扰。在此，由于假设干扰噪声远大于接收机噪声，方程中没有考虑接收机噪声系数。所以在噪声背景下，设计具有最大灵敏度的接收机并不一定有益。上述两个干扰雷达方程是简化式，可能还有其他形式。

4. 杂波

        当雷达必须检测在海面或地面上的小目标时，不需要的干扰杂波会严重限制雷达检测目标的能力。并且当杂波功率显著大于接收机噪声功率时，作用距离方程简化为信杂比的表达式。信杂比等于目标截面积和杂波截面积之比。如果杂波或多或少呈均匀分布，则杂波回波由雷达分辨单元所照射的面积确定。地面和海面杂波可用杂波与雷达照射面积的比值来表示。这个归一化的杂波系数记为。
        考虑脉冲雷达以低入射余角照射目标和杂波。若假定是单脉冲检测，则信杂比为

                                          （1.10）

或

        式中，R为雷达到杂波区的距离；为方位波束宽度；为传播速度；为脉冲宽度；为入射余角（擦地角)。

        假定杂波区域在方位上由天线波束宽度决定，在距离坐标上由脉冲宽度决定。比值的作用与热噪声下的比值类似。必须有足够大的信杂比才能确保可靠检测。杂波的统计特性与热噪声的统计特性不同，但是当无其他信息可用时，作为初始推测可以将所需值取为。在式(1.10）中，作用距离的函数关系是线性的，而不是4次幂形式，这一点是非常重要的。因此，在杂波中检测目标，雷达必须具有窄的波束和窄的脉冲宽度。如改变上述假设，则杂波中检测目标的重要雷达参数可能是不同的。如果每次扫描接收到个回波，并且脉冲间杂波是相关的，则在限制条件为热噪声而非杂波时，将得不到应有的改善。