EM@任意角@弧度制
文章目录
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- abstract
- 角及其推广
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- 简单角
- 任意角
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- 旋转方向
- 角的分类
- 始边和终边
- 同终边角集合
- 象限角
- 非象限角
- 非象限角分析
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- 终边在 x x x轴上的角集合
- 终边在 y y y轴上的角集合
- 角及其大小
- 角的加减运算
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- 旋转量
- 角的加法
- 角的度量
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- 角度制
- 弧度
- 弧度和角度
- 弧度制
- 角度和弧度的换算
- 简写@省略弧度单位
- 小结
abstract
- 介绍单周以内的角推广到有方向且角度任意的角
- 同终边角的集合的表示和非象限角
- 介绍角的度量制度:角度制和弧度制(重点)
角及其推广
简单角
- 我们把有公共断点的两条射线组成的图形叫做角
- 这个公共端点叫做角的顶点
- 两条射线叫做角的边
- 角的另一种解释:角可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形
- 简单角考虑旋转量在一周内,且不分方向
- 射线旋转过的平面部分为角的内部
- 不考虑旋转方向时,不论从哪个方向旋转,旋转的绝对量相等,则两个角一样大
任意角
- 将简单的角该概念加以推广,引入任意角及其相关概念
旋转方向
- 在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向:顺时针和逆时针
角的分类
- 射线绕任意一个方向旋转时,旋转的绝对量可以是任意的,旋转生成的角称为转角(任意角)
- 习惯上规定:按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;(正旋转量)
- 按照顺时针方向旋转而成的角称为负角;(负旋转量)
- 当射线没有旋转时,我们也把看成一个角,称为零角
始边和终边
- 若某个角是由射线 O A OA OA绕其端点 O O O旋转得到位置 O B OB OB得到的,可记为 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB
- 另一种描述:由射线 O A OA OA绕其端点 O O O旋转得到位置 O B OB OB得到的角,可记为 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB
- 其中 O A OA OA是 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB的始边,而 O B OB OB是 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB的终边
- 另一方面,以 O B OB OB为始边,以 O A OA OA为终边的角记为 ∠ B O A \angle{BOA} ∠BOA
- 显然,若 ∠ A O B = α \angle{AOB}=\alpha ∠AOB=α,则 ∠ B O A = − α \angle{BOA}=-\alpha ∠BOA=−α
同终边角集合
- 设 α \alpha α是任意角,所有与 α \alpha α终边相同的角以及 α \alpha α本身组成一个角的集合,可以记为 S = { β ∣ β = α + k ⋅ 36 0 ∘ } S=\set{\beta|\beta=\alpha+k\cdot{360^{\circ}}} S={β∣β=α+k⋅360∘}, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z
- 显然,当 k = 0 k=0 k=0时, α + k ⋅ 36 0 ∘ = α \alpha+k\cdot{360^{\circ}}=\alpha α+k⋅360∘=α
象限角
- 通常任意角在直角坐标系中讨论时,我们令
- 角的顶点和坐标原点重合;
- 角的始边和** x x x轴正半轴**
- 角的终边不在任何坐标轴上,则终边在第几象限,就成为第几象限角,例如 α \alpha α的终边在第二(Ⅱ)象限,则称 α \alpha α是第二象限角
非象限角
-
如果角的终边在坐标轴上,则认为这个角不属于任何象限
-
这类角在讨论三角函数的定义域时十分重要
非象限角分析
- 为方便起见,以 π \pi π代替 18 0 ∘ 180^{\circ} 180∘, 0 0 0表示 0 ∘ 0^{\circ} 0∘
终边在 x x x轴上的角集合
- 终边在 x x x轴上的(非象限)角: S = { β ∣ β = k π , k ∈ Z } S=\set{\beta|\beta=k\pi,k\in\mathbb{Z}} S={β∣β=kπ,k∈Z}
- 先分析一周以内的角:终边在 x x x轴上的角仅有2个,分别时0角和 π \pi π角
- 根据同终边角生成式, 0 + 2 k π = 2 k π 0+2k\pi=2k\pi 0+2kπ=2kπ和 π + 2 k π \pi+2k\pi π+2kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z都是终边在 x x x轴上的角
- 即
- S 1 = { β ∣ β = 2 k π , k ∈ Z } S_1=\set{\beta|\beta=2k\pi,k\in\mathbb{Z}} S1={β∣β=2kπ,k∈Z}是所有终边在 x x x轴正半轴的角;
- S 2 = { β ∣ β = π + 2 k π , k ∈ Z } S_2=\set{\beta|\beta=\pi+2k\pi,k\in\mathbb{Z}} S2={β∣β=π+2kπ,k∈Z}是所有终边在 x x x轴负半轴的角
- 为了简便起见, S 2 S_2 S2改写为 S 2 = { β ∣ β = ( 2 k + 1 ) π , k ∈ Z } S_2=\set{\beta|\beta=(2k+1)\pi,k\in\mathbb{Z}} S2={β∣β=(2k+1)π,k∈Z}
- 对于 { m ∣ m = 2 k , k ∈ Z } ∪ { m ∣ m = 2 k + 1 , k ∈ Z } \set{m|m=2k,k\in\mathbb{Z}}\cup\set{m|m=2k+1,k\in\mathbb{Z}} {m∣m=2k,k∈Z}∪{m∣m=2k+1,k∈Z}= Z \mathbb{Z} Z,
- 所以 S = S 1 ∪ S 2 S=S_1\cup{S_2} S=S1∪S2= { β ∣ β = k π , k ∈ Z } \set{\beta|\beta=k\pi,k\in\mathbb{Z}} {β∣β=kπ,k∈Z}
终边在 y y y轴上的角集合
- 终边在 y y y轴上的角集合 S = { β ∣ β = π 2 + k π , k ∈ Z } S=\set{\beta|\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}} S={β∣β=2π+kπ,k∈Z}或 { β ∣ β = − π 2 + k π , k ∈ Z } \set{\beta|\beta=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}} {β∣β=−2π+kπ,k∈Z}(两个集合相等)
- 终边在 y y y轴正半轴上的角集合 S 1 = { β ∣ β = π 2 + 2 k π , k ∈ Z } S_1=\set{\beta|\beta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}} S1={β∣β=2π+2kπ,k∈Z}
- 终边在 y y y轴正负轴上的角集合 S 2 = { β ∣ β = − π 2 + 2 k π , k ∈ Z } S_2=\set{\beta|\beta=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}} S2={β∣β=−2π+2kπ,k∈Z}
- 为了便于讨论,根据 π 2 + 2 k π \frac{\pi}{2}+2k\pi 2π+2kπ= ( 4 k + 1 ) π 2 (4k+1)\frac{\pi}{2} (4k+1)2π; − π 2 + 2 k π -\frac{\pi}{2}+2k\pi −2π+2kπ= ( 4 k − 1 ) π 2 (4k-1)\frac{\pi}{2} (4k−1)2π;
- S 1 = { β ∣ β = ( 4 k + 1 ) π 2 , k ∈ Z } S_1=\set{\beta|\beta=(4k+1)\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}} S1={β∣β=(4k+1)2π,k∈Z}
- S 2 = { β ∣ β = ( 4 k − 1 ) π 2 , k ∈ Z } S_2=\set{\beta|\beta=(4k-1)\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}} S2={β∣β=(4k−1)2π,k∈Z}
- 因为 { m ∣ m = 4 k + 1 , k ∈ Z } \set{m|m=4k+1,k\in\mathbb{Z}} {m∣m=4k+1,k∈Z} ∪ \cup ∪ { m ∣ m = 4 k + 1 , k ∈ Z } \set{m|m=4k+1,k\in\mathbb{Z}} {m∣m=4k+1,k∈Z}= { m ∣ m = 2 k + 1 , k ∈ Z } \set{m|m=2k+1,k\in\mathbb{Z}} {m∣m=2k+1,k∈Z}或作 { m ∣ m = 2 k − 1 , k ∈ Z } \set{m|m=2k-1,k\in\mathbb{Z}} {m∣m=2k−1,k∈Z}
- S = S 1 ∪ S 2 S=S_1\cup{S_2} S=S1∪S2= S = { β ∣ β = ( 2 k + 1 ) π 2 , k ∈ Z } S=\set{\beta|\beta=(2k+1)\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}} S={β∣β=(2k+1)2π,k∈Z}= { β ∣ β = π 2 + k π , k ∈ Z } \set{\beta|\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}} {β∣β=2π+kπ,k∈Z},或者 { β ∣ β = − π 2 + k π , k ∈ Z } \set{\beta|\beta=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}} {β∣β=−2π+kπ,k∈Z}
角及其大小
- 角是一种图形,而角的大小是角的一个属性而已
- 例如角 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB, ∠ C O B \angle{COB} ∠COB
- 为方便起见,将两个角的大小相等用等号联系它们,例如 ∠ A O B = ∠ C O B \angle{AOB}=\angle{COB} ∠AOB=∠COB表明两个角的大小相等
角的加减运算
旋转量
- 角的大小也叫旋转量,在任意角中,旋转量可能是负的
角的加法
- 设 α , β \alpha,\beta α,β是两个正角
- α \alpha α顺时针旋转 β \beta β角的绝对量,记为 α + β \alpha+\beta α+β,该运算称为角的加法运算
- α \alpha α顺逆针旋转 β \beta β角的绝对量,记为 α − β \alpha-\beta α−β,该运算称为角的减法运算
- 引入正,负角后,可以将角的减法运算转化为角的加法,即 α − β \alpha-\beta α−β= α + ( − β ) \alpha+(-\beta) α+(−β),即减去一个正角等于加上这个角的同绝对量的负角
- 各角和的旋转量等于各角旋转量的和
- 设 n n n个角 α 1 , ⋯ , α n \alpha_1,\cdots,\alpha_n α1,⋯,αn,它们的旋转量分别为 p 1 , ⋯ , p n p_1,\cdots,p_n p1,⋯,pn计算这些角的和 β , ( β = α 1 + ⋯ + α n \beta,(\beta=\alpha_1+\cdots+\alpha_n β,(β=α1+⋯+αn)的旋转量公式为 p β p_{\beta} pβ= p 1 + ⋯ + p n p_1+\cdots+p_{n} p1+⋯+pn
角的度量
角度制
- 过去,我们使用角度制度量角,即把圆周 360 360 360等分,其中一份所对应的圆心角为 1 1 1或者 1 ∘ 1^\circ 1∘
- 这种用度作为度量单位的制度叫做角度制
- 角度制中由3个单位:度,分,秒
- 规定 60 60 60分等于一度,60秒等于1分
- 6 0 ′ = 1 ∘ 60'=1^{\circ} 60′=1∘; 6 0 ′ ′ = 1 ′ 60''=1^{'} 60′′=1′
- 在时间的进位关系中也是60进制
弧度
- 弧度制是度量角的另一种制度
- 射线绕其端点 O O O旋转的过程中,射线上距离 O O O为 r r r的点A会在这个过程画出一段弧终点记为 B B B,弧记为 A B ⌢ \overset{\huge\frown}{AB} AB⌢ ,设该过程的得到的角为 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB
- 弧度制是根据圆心角,弧长,半径三者之间的某种关系而引入的
- 这个关系是: A B ⌢ r \frac{\overset{\huge\frown}{AB}}{r} rAB⌢= A ′ B ′ ⌢ r ′ \frac{\overset{\huge\frown}{A'B'}}{r'} r′A′B′⌢= α \alpha α,( A ′ , B ′ A',B' A′,B′是半径为 r ′ r' r′的点)
- 我们把这个比值(定值)称为角 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB的弧度
弧度和角度
- 设 α = n ∘ \alpha=n^{\circ} α=n∘, A B ⌢ \overset{\huge\frown}{AB} AB⌢= l l l, O A = r OA=r OA=r,
- 每 1 0 1^{0} 10对应的弧长为 2 π r 360 \frac{2\pi{r}}{360} 3602πr
- 则: l = n 2 π r 360 l=n\frac{2\pi{r}}{360} l=n3602πr或 l r = n 2 π 360 \frac{l}{r}=n\frac{2\pi}{360} rl=n3602π,即弧长比去半径的结果是一个与半径无关的常数(与角的度数 n n n有关),当 α \alpha α为定值时, n n n为定值,这个比值也是定值
- 因此,我们可以用圆的半径作为单位取度量弧
弧度制
用弧度度量角
-
规定:长度等于半径长的圆弧所对应的圆心角为"1弧度"的角
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弧度单位记为rad,1弧度表示为 1 1 1 rad
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以弧度为单位度量角的制度称为弧度制
-
在半径 r r r的圆中,弧长为 l l l的弧所对的圆心角为 α \alpha α,则由弧度定义
- α = l r \alpha=\frac{l}{r} α=rl,单位是rad
角度和弧度的换算
- 半径为 r r r的圆的周长为 2 π r 2\pi{r} 2πr,这个周长对应的弧度数: 2 π r r \frac{2\pi{r}}{r} r2πr= 2 π 2\pi 2π rad,同时这个圆对应的角是 36 0 ∘ 360^{\circ} 360∘,所以由角的大小相等关系, 2 π 2\pi 2π rad = 36 0 ∘ 360^{\circ} 360∘
- 从而:
- 2 π 2\pi 2π rad = 36 0 ∘ 360^{\circ} 360∘,即, π \pi π rad = 18 0 ∘ 180^{\circ} 180∘
- 1 0 1^{0} 10= π 180 \frac{\pi}{180} 180π rad
- 1 1 1 rad= ( 180 π ) ∘ (\frac{180}{\pi})^{\circ} (π180)∘
- 近似值: 1 1 1 rad ≈ \approx ≈ 57.3 0 ∘ 57.30^{\circ} 57.30∘,可见,1rad比 1 ∘ 1^{\circ} 1∘大得多,3 rad接近 36 0 ∘ 360^{\circ} 360∘
- 换算公式:
- α \alpha α rad= ( α ⋅ 180 π ) 0 (\alpha\cdot\frac{180}{\pi})^{0} (α⋅π180)0
- n ∘ n^{\circ} n∘= n ⋅ π 180 n\cdot{\frac{\pi}{180}} n⋅180π rad
简写@省略弧度单位
- 在使用弧度制表示角的时候,弧度单位可以略去不写,而只写弧度数
- 例如 ∠ α = 2 \angle{\alpha}=2 ∠α=2表示角 α \alpha α是一个2弧度角
小结
- 弧度是十进制的,角度是60进制的