AM@线性微分方程解的结构

线性微分方程

• $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{{}^{\prime }}+a_n(x)y$=$f(x)$(1),
• 方程(1)对应的齐次方程为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{{}^{\prime }}+a_n(x)y=0$(2)

函数线性相关性

• 设$y_1(x),\cdots ,y_m(x)$是定义在某区间$(a,b)$内得$m$个函数,若存在不全为0的$m$个常数$k_1,\cdots ,k_m$,使得${\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i(x)=0$(1)成立,则称这$m$个函数在该区间内线性相关,否则称这$m$个函数在该区间内线性无关

• 当$m=2$时,即只有2个函数时,$y_1(x),y_2(x)$线性无关等价于$y_1(x),y_2(x)$之比不为常数(设$y_1(x),y_2(x)\ne 0$)

  • 证明:若$y_2(x)=k{y}_1(x)$,$k$为常数,显然$-k{y}_1(x)+y_2(x)$=$0$,即一定存在$2$个不全为0的常数$-1,k$满足线性相关方程
    • 因此$y_1(x),y_2(x)$线性无关必有$k$不为常数,否则线性相关
  • 反之,若$k$不为常数,记为$k(x)$
    • $k_1{y}_1(x)+k_{2}k{y}_1(x)$=$(k_1+k_{2}k(x))y_1(x)$=$0$,$y_1(x)$不是常数0,所以$k_1+k_{2}k(x)=0$,当且仅当$k_1=k_2=0$时成立,(否则$k_1+k_{2}k(x)$是一个关于$x$的函数),所以$y_1(x),y_2(x)$线性无关

线性微分方程解的性质

线性方程解和对应齐次方程解的基本性质

• 设$y^{\ast }(x)$为线性方程(1)的解,且$Y(x)$为方程(1)对应的齐次方程的解,则$y=Y(x)+y^{\ast }$是(1)的解
• 设$y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$都是线性方程(1)的解,则$y=y_1^{\ast }(x)-y_2^{\ast }(x)$是方程(1)对应的齐次方程的解
• 上述两点性质容易通过代入$y$验证,和线性代数中的线性方程组解的结构类似的特点

齐次线性方程解的线性组合性质

• 若$y_1(x),\cdots ,y_n(x)$是齐次线性方程(2)的$m$个解,则它们的线性组合${\sum }_{i=1}^m{C}_i{y}_i(x)$还是(2)的解

齐次线性方程的通解结构

• 设$y_i(x)$,$i=1,2,\cdots ,n$是$n$阶齐次线性方程(2)的$n$个线性无关的解,$C_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$为$n$个任意常数,则$y={\sum }_{i=1}^n{C}_i{y}_i(x)$为方程(2)的通解
• 例如,二阶齐次线性方程的通解可以表示为$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$,其中$y_1(x),y_2(x)$线性无关,$C_1,C_2$是两个任意常数(不可合并的独立常数)

非齐次线性方程的通解结构

• 设$y^{\ast }(x)$为(1)的一个解,$Y(x)$为(1)对应的齐次方程(2)的通解,则$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$为(1)的通解

线性微分方程解的叠加原理

• 设$y_i^{\ast }(x)$为方程$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{{}^{\prime }}+a_n(x)y$=$f_i(x)$,$(i=1,2)$(1)解

  • 则$y_3^{\ast }(x)=y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是 $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{{}^{\prime }}+a_n(x)y$=$f_1(x)+f_2(x)$(2)的解
  • 本性质容易代入验证

• 本定理指出,当$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$,并且可知式(1)的特解$(i=1,2)$时的特解分别有$y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$,则可直接得到(2)的一个特解$y_3^{\ast }(x)$