高等数学

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

一、函数的定义
设 $x$ 和 $y$ 是两个变量, $D$ 是一个给定的数集. 如果对于每个数 $x\in D$,变量 $y$ 按照一定法则，总有唯一确定的数值 $y$ 和它对应,则称 $y$ 是 $x$ 的函数,记为 $y=f(x)$.

二、函数的表示方法

1. 显函数：由解析式 $y=f(x)$ 所确定的函数.
   （1）用一个解析式子表示的函数.

（2）分段函数：在定义域内不能用同一个式子表示的函数.

2. 隐函数: 由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的函数.

3. 由参数方程确定的函数：由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 所确定的函数.

4. 积分上限函数：由变上限积分所确定的函数.

三、函数的几种特性

1. 有界性：

   设函数 $y=f(x)$ 在数集 $X$ 上有定义,若存在正数 $M$,使得对于每一个 $x\in X$,都有 $|f(x)|⩽$ $M$ 成立,则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界. 否则, 即这样的 $M$ 不存在,则称 $f(x)$ 在 $X$ 上无界, 即对任何 $M>0,$ 总存在 $x_0\in X,$ 使 $\left|f\left(x_0\right)\right|>M.$ 比如：如: 有界函数 $:y=\sin x,x\in (-\infty ,+\infty ),y=\arctan x,x\in (-\infty ,+\infty )$
   无解函数 $:y=\frac{1}{x},x\in (0,1),y=\tan x,x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

2. 单调性

   设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义,若对于 $I$ 上任意两点 $x_1$ 与 $x_2,$ 且 $x_1<x_2$ 时, 均有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)($ 或 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)),$ 则称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加(或单调减少).
   如 : $y=\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内单调增加,即 $y$ 值随着 $x$ 值的增加而增加.

3. 奇偶性

   设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $(-a,a),$ 其中 $a>0$,

   （1）若对 $\forall x\in (-a,a)$ 都有 $f(-x)=f(x),$ 则称 $f(x)$ 为偶函数(其图像关于 $y$ 轴对称);
   （2）若对 $\forall x\in (-a,a)$ 都有 $f(-x)=-f(x),$ 则称 $f(x)$ 为奇函数(其图像关于原点对称 )

4. 周期性

   对于函数 $y=f(x)$,若存在常数 $T>0$,有 $f(x+T)=f(x),$ 则称函数 $y=f(x)$ 为周期函数, $T$ 称为 $f(x)$ 的周期.

四、反函数与复合函数

1. 反函数
   设函数 $y=f(x)$ 的值域为 $D_y,$ 如果对于 $D_y$ 中任意一 $y$ 值,从关系式 $y=f(x)$ 中可确定唯 一的 $x$ 值,则此时按照函数的定义,也确定了 $x$ 是 $y$ 的函数,称此 函数为 $y=f(x)$ 的反函数，, 记为 $x=f^{-1}(y)$
   习惯上:把 $x=f^1(y)$ 记成 $y=f^{-1}(x),$ 则 $y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数.

2. 复合函数

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f,$ 函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g,$ 且值域 $g\left(D_g\right)\subset D_f,$ 则函数 $y=f[g(x)],x\in D_s$ 称为由函数 $y=f(u)$ 和 函数 $u=g(x)$ 构成的复合函数,定义域为 $D_g$ ， 变量 $u$ 称为中间变量.

五、初等函数

1. 基本初等函数
   (1) 幕函数 $y=x^u$,定义域与 $u$ 有关.
   (2) 指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1),x\in (-\infty ,+\infty )$
   (3) 对数函数: $y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1),x\in (0,+\infty )$

(4) 二角函数 : $y=\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x$
(5) 反三角函数 : $y=\arcsin x,\arccos x,\arctan x,\mathrm{arccot}x$

2. 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合,并且在定义域内具有统一的解析表 达式的函数称为初等函数.

第二节 函数的极限

一、函数极限的概念与性质

1. 函数极限的定义
   (1) 定义 1 设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义,若对 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $0<$ $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时 $,$ 恒有 $|f(x)-a|<\epsilon ,$ 则称 $y=f(x)$ 在 $x\to x_0$ 的极 限为 $a$,记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$
   直观解释 $:{\lim }_{x\to x_n}f(x)=a:$ 当 $x$ 无限趋近 $x_0$ 时, 函数 $f(x)$ 无限趋近常数 $a.$ 注 \quad 定义的第一句话 $($ 设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义)告诉这样的结论:
   (1) ${\lim }_{x\to x_n}f(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 点是否有定义及 $f\left(x_0\right)$ 的大小无关.
   (2) 极限是函数的局部性质,只与很邻近值有关.
   (2) 定义 2 设函数 $y=f(x)$ 在 $|x|>E>0$ 内有定义,若对 $\forall \epsilon >0,\exists M>0,$ 使得当 $|x|>$ $M$ 时,恒有 $|f(x)-a|<\epsilon ,$ 则称 $y=f(x)$ 在 $x\to \infty$ 的极限为 $a$,记为 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=a.$
   直观解释 $:{\lim }_{x\to \infty }f(x)=a:$ 当 $|x|$ 尤限增大时, 函数 $f(x)$ 无限趋近常数 $a$.
2. 左、右极限的定义
   (1) 左极限 $:f\left(x_0-0\right)={\lim }_{x\to x_0-0}f(x)=a$$\iff \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $-\delta <x-x_0<0$ 时, 恒有 $|f(x)-a|<\epsilon .$

​ (2) 右极限: $f\left(x_0+0\right)={\lim }_{x\to x_0+0}f(x)=a$$⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $0<x-x_0<\delta$ 时,恒有 $|f(x)-a|<\epsilon .$
​ 如 $:f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin 3x,& x<0\\ x^2+1,& x⩾0\end{array}$
$$\underset{x\to 0-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0-0}{\lim }(\sin 3x)=0,\underset{x\to 0+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0+0}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$$
3. 极限存在的充要条件
(1) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a⟺{\lim }_{x\to x_0+0}f(x)={\lim }_{x\to x_0-0}f(x)=a$
(2) ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=a⟺{\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=a$
注 \quad 分段函数在分段,点处的初限，用此法.

4. 函数极限的性质
   (1) 唯一性: 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)($ 或 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ )存在, 则该极 限唯一.

(2) 局部有界性 : 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a($ 或 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=a)$,则存在 $x_0$ 的去心邻域 $($ 或 $|x|>M>$$0),$ 使 $f(x)$ 在此邻域(或 $|x|>M>0)$ 内有界.
注 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty ,$ 在 $x=0$ 处找不到去心邻域使之有界.

(3) 局部保号性 : 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a,$
(1) 若 $a>0,$ 则存在 $\delta >0,$ 当 $0<1x-x_0\mid <\delta$ 时 $,f(x)>0$;
(2) 若 $a<0,$ 则存在 $\delta >0,$ 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, $f(x)<0.$

二、求诉数极 限的方法

1. 用极限四则运算法则求极限
   设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B,$ 则
   (1) ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))={\lim }_{x\to x_0}f(x)\pm {\lim }_{x\to x_0}g(x)$
   (2) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)g(x)={\lim }_{x\to x_0}f(x){\lim }_{x\to x_0}g(x)$
   (3) ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to x_0}f(x)}{{\lim }_{x\to x_0}g(x)}\left({\lim }_{x\to x_0}g(x)\ne 0\right)$
   注 (1) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)g(x)=a{\lim }_{x\to x_0}g(x)\left({\lim }_{x\to x_0}f(x)=a\ne 0\right)$
   小注 1 ) 一个存在一个不存在,结论如何?
   2) 两个都不存在,结论女何?

总结 若分子、分母极限都为无穷大或无穷小(未定式),则总可以对分子、分母同除无穷大或无穷小,使分母的极限存在且不为实,再用四则运算法则求.

2. 用复合函数蛇极限运算法则求极限
   设 ${\lim }_{x\to x_0}\phi (x)=a,$ 则 ${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]={\lim }_{u\to a}f(u)=A$

3. 用两个重要极限求极限
   (1) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
   (2) ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\mathrm{e}$ 或 ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$

4. 用等价无穷小求极限
   (1) 无穷小的定义 若 ${\lim }_{x\to x_0}(x)=0,$ 则称 $\alpha (x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷小.
   注 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, 恒有 $|f(x)|<\epsilon$ 能说明为什么称它为无穷小.
   (2) 无穷小与极限存在之间的关系${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟺f(x)=A+\alpha (x),$ 其中 ${\lim }_{x\to x_0}(x)=0$

(3) 无穷小的运算
1) 加减：有限个无穷小的和差,仍然是无穷小.
2) 乘积：有限个无穷小的乘积,仍然是无穷小.
3) 尤穷小与有界量的乘积,仍然是无穷小.
4) 无穷小与常数的乘积,仍然是无穷小.
(4) 无穷小的比较
若 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0,{\lim }_{x\to x_0}\beta (x)=0,$ 且 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=l$
1) 若 $l\ne 0,$ 则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小;
2) 若 $l=1,$ 则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价克穷小,记为 $\alpha (x)\sim \beta (x);$
3) 若 $l=0$, 则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的高阶无穷小,记为 $\alpha (x)=0(\beta (x))$;
4) 若 $l=\infty ,$ 则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的低阶无穷小;
5) 若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{{\beta }^k(x)}=l\ne 0,$ 则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小.

常用等价无穷小:
1) 当 $k(x)\to 0$ 时 $,\sin k(x)\sim k(x);1-\cos k(x)\sim \frac{1}{2}[k(x){]}^2;\ln (1+k(x))\sim k(x)$$\arcsin k(x)\sim k(x);\arctan k(x)\sim k(x);{\mathrm{e}}^{k(x)}-1\sim k(x);a^{k(x)}-1\sim k(x)\ln a$$[1+k(x){]}^{\alpha }-1\sim \alpha k(x)$
2) $\ln k(x)\sim k(x)-1,$ 其中 $k(x)\to 1$
3) $\alpha (x)+o(\alpha (x))\sim \alpha (x),$ 其中 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0$
(5) 利用等价无穷小求极限定理 \quad 设 $\alpha (x)\sim {\alpha }_1(x),\beta (x)\sim {\beta }_1(x),$ 则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)\alpha (x)}{g(x)\beta (x)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x){\alpha }_1(x)}{g(x){\beta }_1(x)}$

(6) 无穷大的定义
当 $x\to x_0$ (或 $x\to \infty$ ) 时, $|f(x)|$ 无限增大,则称 $f(x)$ 在 $x\to x_0$ (或 $x\to \infty$ ) 为无究大, 记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$
${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty ⟺$ 对任意 $M>0,$ 存在 $\delta >0,$ 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时 $,|f(x)|>M$
注: (1) 无穷大是极限不存在的一种形式.
(2) 无穷大与无穷小之间的关系：在自变量的同一变化讨程中,若 $f(x)$ 为无穷大, 则$\frac{1}{f(x)}$ 心为无穷小;反之,若 $f(x)$ 为无穷小, 且 $f(x)\ne 0,$ 则 $\frac{1}{f(x)}$ 必为无穷大.
(3) 无穷大没有大小之分,只有起于无穷大的快慢之分.
(4) 壬穷大的 四则运算.
(5) 无穷大与无界函数的关系: 无穷大是无界函数;但反之,不成立.

5. 利用洛必达法则求极限

   (1) 法则 $\mathrm{I}\left(\frac{0}{0}\right):$
   设函数 $f(x),g(x)$ 满足条件

   1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$
   2. $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导,且 $g^{\prime }(x)\ne 0$;
   3. ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在 $($ 或 $\infty )$,
      则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
      (2) 法则 II $\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$ :
      设函数 $f(x),g(x)$ 满足条件
   4. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty ,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=\infty$;
   5. $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导, 且 $g^{\prime }(x)\ne 0$;
   6. ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在(或$\infty$)，
      则 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

   (3) 其他末定式: $0\cdot \infty ,\infty -\infty ;0^{\circ },{\infty }^{\circ },1^{\infty }$
   注：(1) $0\cdot \infty ;\infty -\infty$ 将其转化为 $\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$型,再使用洛必达法则.

   ​ (2) $0^{\circ },{\infty }^0,1^{\infty }$ 为幂指函数类型，改写成 $[f(x){]}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{g(x)\ln f(x)}.$

   ​ (3) ${\lim }_{x\to 0}{x}^x=1;{\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\frac{1}{x}}=1$

   总结 求极限的问题,主要是求未定式的极限,而所有未定式都可以化为 $\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$型.
   (1) 用分子(或分母)同除无穷小或无穷大,使分母极限存在且非零,再用四则运算.
   (2) 用洛必达法则(没有办法时),在用之前一定要先化简(代数变形、等价无穷小代换、计算非零极限因子)使得分子分母求导容易(即对“干净"的未定式使用洛必达法则).

6. 已知极限,求未知参数

第三节 数列的极限

一、数列极 限的概念及性质

1. 数列极限的定义 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a⟺$ 对于 $\forall \epsilon >0,\exists$ 一个正整数 $N,$ 当 $n>N$ 时,恒有 $\left|x_n-a\right|<\epsilon .$

   注：(1) 直观解释：即当 $n$ 无限增大时, 对应的 $x_n$ 无限接近于某个确定的常数 $a$.
   (2) 数列极限与前面有限项没有关系.

2. 数列极限的性质
   （1）唯一性：若数列收玫,则它的极限唯一
   （2）有界性 : 若数列收玫,则它一定有界

   （3）保号性 : 设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$,
   (1) 若 $a>0$,则存在正整数 $N>0$, 当 $n>N$ 时, $x_n>0$;
   (2) 若 $a<0$,则存在正整数 $N>0$, 当 $n>N$ 时, $x_n<0.$

   （4） 收敛数列与其子列间的关系：若数列收敘于 $a$,则它的任一子数列也收敘，且极限也是 $a$.

二、求数列极限的方法

1. 利用准则求极限
   (1) 夹道定理(数列) 若存在 $N,$ 当 $n>N$ 时 $,y_n⩽x_n⩽z_n$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n={\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$.
   (2) 夹逼定理(函数)
   当 $x\in \dot{U}\left(x_0,\delta \right),$ 有 $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$ 成立, 且 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=a,{\lim }_{x\to x_0}h(x)=a,$ 则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a.$

(3) 单调有界数列必有极限.

2. 利用求函数极限的方法来求数列极限

第四节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续与间断

1. 函数连续性的定义
   (1) 设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义, 且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f\left(x_0\right),$ 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续.
   (2) 单侧连续: 左连续 $:{\lim }_{x\to x_0-0}f(x)=f\left(x_0\right);$ 右连续 $:{\lim }_{x\to x_0+0}f(x)=f\left(x_0\right).$
   (3) $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续$⟺$ $f(x)$ 在 $x_0$ 既左连续又右连续.

2. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点都连续, 且 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右连续,在 $x=b$ 处左连续.

3. 连续函数保持运算不变
   (1) 连续函数的和差积商(分母不为零)、复合仍是连续函数.
   (2) 一切初等函数在其定义的区间内是连续的.

4. 间断点的定义

   设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义,在此前提下如果函数有下列三种情形之一:

   (1) 在 $x_0$ 点没有定义;
   (2) 虽在 $x_0$ 点有定义,但 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在;
   (3) 虽在 $x_0$ 与有定义且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在,但 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne f\left(x_0\right)$;
   则称 $x_0$ 为函数的间断点.

5. 间断点的类型 若 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点,则有:
   (1) 若 ${\lim }_{x\to x_n}f(x)$ 存在,则称 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点.
   (2) 若 ${\lim }_{x\to x_0-0}f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to x_0+0}f(x)$ 都存在,但不相等, 则称 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点.
   (3) 若 ${\lim }_{x\to x_0-0}f(x)=\infty$ 或 ${\lim }_{x\to x_0+0}f(x)=\infty ,$ 则称 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点.

   (4) 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在, 且当 $x\to x_0$ 时函数值在摆动,则称 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的振荡间断点.

   上述间断点中：(1)(2)两类称为第一类间断点 ; (3)(4)两类称为第二类间晰点.

二、闭区间上连续函数的性质
性质 1 (有界性定理）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界. 即 $\exists M>0,$ 使得对 $\forall x\in [a,b],$ 有 $|f(x)|⩽M.$
性质 2 (最大值和最小值定理)设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取得最大 值与最小值. 即 $\exists \xi ,\eta \in [a,b]$,使得 $f(\xi )={\max }_{a⩽x⩽b}\{f(x)\},f(\eta )={\min }_{a⩽x⩽b}\{f(x)\}.$
性质 3 (介值定理)设函数 $f(x)$ 在[a,b]上连续, $\mu$ 是介于最大值与最小值之间的任一实 数,则 $\exists \xi \in [a,b]$,使得 $f(\xi )=\mu .$ 性质 4 (零点定理）设函数 $f(x)$ 在[ $a,b]$ 上连续, 且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 昇号 (即 $f(a)$ ・ $f(b)<$0),那么至少存在一点 $\xi \in (a,b),$ 使得 $f(\xi )=0.$

第二章 导数与微分

第一节 导数与微分的概念

1. 导数的定义
   设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某 邻域内有定义，若 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
   $($ 或 $f^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0})$ 存在,则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导,记作 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$ 或 $f^{\prime }\left(x_0\right).$
   注 (1) 导数 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 反映的是 $y=f(x)$ 在,点 $x_0$ 处的变化率.
   (2) 导函数 $f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},x\in I$

2. 单侧导数
   (1) 左导数 $:f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
   (2) 舌导数 $:f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
   注 (1)$f^{\prime }\left(x_0\right)$ 手在的必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续.
   (2) $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 手在\Longleftrightarrow $f^{\prime }-\left(x_0\right),f^{\prime }+\left(x_0\right)$ 都素在且相等.
   (3) 两种特殊函数的可导性.
   1) $x^u(0<u<1)$ 在 $x=0$ 处不可导. 如 $y=x^{\frac{1}{3}}⟹y^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}},x\ne 0$
   2) $|x|$ 在 $x=0$ 处不可导,但在 $x=0$ 处连续.

3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导的定义
   若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内任一点可导, 且 $f_{+}^{\prime }(a)$ 及 $f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在, 则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$上可导,并称 $f^{\prime }(x)$ 为[a,b]上的导函数.

4. $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 的几何意义和物理意义
   (1) $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 的几何意义: 设函数 $f(x)$ 可导,则 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 等于曲线 $y=f(x)$ 点 $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率.

注：(1) 导数为无穷大时, 即导数不救在,但切线存在,为铅直切线.
(2) 曲线 $y=f(x)$ 在, 点 $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与法线方程分别是:
1) 切线方程 $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$
2) 法线方程 $y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime }\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime }\left(x_0\right)\ne 0\right)$

(2) $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 的物理意义
一质点作变練直线运动 $s=s(t),$ 则 $s^{\prime }\left(t_0\right)$ 表示在 $t_0$ 时刻瞬时速度, $s^{\prime \prime }\left(t_0\right)$ 表示在 $t_0$ 时刻的加速度。

5. 微分的定义
   设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=A\Delta x+O(\Delta x),$ 其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关, 则称 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微, 且 $\Delta y=\mathrm{d}y+o(\Delta x).$
   注：(1) 可导、可徽,连续三者之间的关系: 可导\Longleftrightarrow可徽\Longrightarrow亡连续,但反之, 不成立.

    				 1) $f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{ll}-x, & x<0 \\ x, & x \geqslant 0\end{array},\right.$ 在 $x=0$,点不可导,但在 $x=0$,点连续.
     				2) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$   在 $x=0$点不连续,则必在 $x=0$点不可导.
   
    (2) 函数 $y=f(x)$ 在 $x$,点可微的充要条件是 $f(x)$ 在 $x$,点可导. 此时 $A=f^{\prime}(x),$ 即 $\mathrm{d} y
   

=f^{\prime}(x) \Delta x$
(3) 一阶微分形式的不变性: 设 $y=f(u)$ 可微, 则微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u,$ 其中 $u$ 不论是自变量还是中间变量, 以上微分形式保持不变。

第二节 求导数的方法

1. 四则运箕的求导法则
   设函数 $u(x),v(x)$ 都可导,则
   (1) $(u(x)\pm v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$
   (2) $(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$
   (3) ${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

2. 复合函数的求导法则
   设 $u=\phi (x)$ 在 $x$ 处可导, $y=f(u)$ 在对应的 $u=\phi (x)$ 处可导,则复合函数 $y=f(\phi (x))$ 在 $x$ 处可导, 且$[f(\phi (x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x),$ 即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

3. 反函数的求导法则

若 $x=\phi (y)$ 在某个区间内单调、可导, 且 ${\phi }^{\prime }(y)\ne 0,$ 则其反函数 $y=f(x)$ 在对应的区间内也可导,且 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)},$ 即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$

4. 隐函数的求导法则
   (1) 隐函数：设有方程 $F(x,y)=0$,若当 $x$ 取某区间内的任一值时,总有满足该方程唯一的值 $y$ 存在 时,称方程 $F(x,y)=0$ 在上述区间内确定了一个隐函数 $y=y(x)$.
   (2) 隐函数的求导法则：在方程 $F(x,y)=0$ 视 $y$ 为 $x$ 的函数两边同时对 $x$ 求导，解出导数即可.

5. 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 所确定的函数的导数
   设参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},$ 则

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}\right)}{{\phi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{{\left[{\phi }^{\prime }(t)\right]}^3}\end{array}$$
​ 注 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}\ne \frac{{\psi }^{\prime \prime }(t)}{{\phi }^{\prime \prime }(t)}$

第三节 高阶导数及相关变化率

一、高阶导数

1. 高阶导数的定义：把函数 $y=f(x)$ 的导数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 的导数,称为 $y=f(x)$ 的二阶导数,记为 $y^{\prime \prime }$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$或 $f^{\prime \prime }(x)$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}$

类似地,二阶导数的导数称为三阶导数; 三阶导数的导数称为四阶导数； $(n-1)$ 阶导数的导数称为 $n$ 阶导数.
我们把二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.

注
(1) 函数 $y=f(x)$ 本身称为 0 阶导数;导数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 称为一阶导数.
(2) $y^{\prime \prime }={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f^{\prime }\left(x_0+\Delta x\right)-f^{\prime }\left(x_0\right)}{\Delta x},$ 或 $y^{\prime \prime }={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }\left(x_0\right)}{x-x_0}$
(3) $y^{(n)}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f^{(n-1)}\left(x_0+\Delta x\right)-f^{(n-1)}\left(x_0\right)}{\Delta x},$ 或 $y^{(n)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}\left(x_0\right)}{x-x_0}$

2. 高阶导数的求法
   （1) 定义法：利用高阶导数的定义,一阶一阶的求导.
   （2）初等变形法: 将函数变形成常用函数,直接套用常用函数的高阶导数结论.

   (3) 莱布尼兹公式: $(u(x)v(x){)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)$

二、相关变化率（数学三不要求）
设 $x=x(t),y=y(t)$ 都是可导函数,而 $x$ 与 $y$ 之间存在某种关系, 从而变化率 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 之间也存在一定的关系,因此把这两个相依的变化率称为相关变化率.

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

1. 罗尔定理
   设函数 $f(x)$ 满足：(1) 在[a,b]上连续 $;$ (2) 在 $(a,b)$ 内可导; $(3)f(a)=f(b)$,则至少存在 $\xi \in (a,b),$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0.$

注
(1) 几何解释: 连续曲线 $f(x)(a⩽x⩽b)$ 在每一点处都存在不垂直于 $x$ 轴的切线,且连接两端点的弦是水平的,则至少存在一条切线也是水平的.
(2) 定理的条件是充分的,但非必要的.

(3) 点 $\xi$ 存在,但没有说 $\xi$ 是否唯一及 $\xi$ 的位置.

(4) 如何证明 $\xi$ 是否唯一?

2. 拉格朗日中值定理
   (1) 拉格朗日中值定理 设 $f(x)$ 在[a,b]上连续,在 $(a,b)$ 内可导, 则至少 $\exists \xi \in (a,b),$ 使$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

注 (1) 几何解释：连续曲线 $f(x)(a⩽x⩽b)$ 在每一点处都存在不垂直于 $x$ 轴的切线,则至少变在一条切线平行于连接两端点的弦.
(2) 定理的条件是充分的,但非必要的.
(3) $f(b)-f(a)=f^{\prime }[a+\theta (b-a)](b-a)(0<\theta <1)$
$f(x)-f(a)=f^{\prime }[a+\theta (x-a)](x-a)(\theta$ 是 $x$ 的函数 $)$
(2) 推论：苻函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零,则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一个常数.

3. 柯西中值定理

设 $f(x),g(x)$ 在[a,b]上连续,在 $(a,b)$ 内可良, 且 $g^{\prime }(x)\ne 0$,则至少存在 $\xi \in (a,b),$ 使
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}={\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}|}_{x=\xi }$$

4. 泰勒中值定理
   设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n+1$ 阶的导数, 则$\begin{array}{rl}f(x)=& f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^2+\cdots \\ & +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^n+\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi ){\left(x-x_0\right)}^{n+1}\end{array}$ 其中 $\xi$ 是在 $x_0$ 与 $x$ 之间(或 $\xi =x_0$