二重积分一般计算步骤
文章目录
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- 二重积分计算的一般步骤
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- 分析积分区域草图
- 积分区域对称性
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- 区域分割
- 可以简化计算的两类情况
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- 利用对称性和奇偶性计算
- 双轴对称
- 变量的对称性@轮换对称计算
- 选择合适的坐标系
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- 直角坐标系
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- 先 y y y后 x x x
- 先 x x x后y
- 极坐标系
- 确定积分区间
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- 积分次序
- 积分限
- 应用
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- 例1
- 例2
- 例3
- 例4
- 例5
- 例6
二重积分计算的一般步骤
分析积分区域草图
- 绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算
- 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
- 先定义域区域对称,然后才有函数对称
积分区域对称性
- 判断积分区域是否具有对称性
- 如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用
区域分割
- 有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域
- 这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算
可以简化计算的两类情况
利用对称性和奇偶性计算
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被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论
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若积分区域 D D D关于 y y y轴对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x有奇偶性,则
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∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ= 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1∬f(x,y)dσ,
- f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
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∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬f(x,y)dσ=0,
- f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)
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其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分
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若积分区域 D D D关于 x x x轴对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y有奇偶性,则
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∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ= 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1∬f(x,y)dσ,
- f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
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∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬f(x,y)dσ=0,
- f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)
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其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分
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可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,但是某些情形下可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,在乘以2,例如后面的例6提到的积分区间:双曲线 x > 0 x>0 x>0部分的关于 x x x轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助对称性可以不用分段写
双轴对称
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对称性很强的时候(关于 x , y x,y x,y轴都对称),且被积函数是同时是 x , y x,y x,y的偶函数,可以将积分区域再收缩
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比如D: ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1 |x|+|y|=1 ∣x∣+∣y∣=1;又设被积函数为 ∣ x ∣ |x| ∣x∣, ∬ D ∣ x ∣ d x \iint\limits_{D}|x|dx D∬∣x∣dx= 4 ∬ D 1 ∣ x ∣ d x 4\iint\limits_{D_1}|x|dx 4D1∬∣x∣dx= 4 ∬ D 1 x d x 4\iint\limits_{D_1}x\mathrm{d}x 4D1∬xdx,
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此处, D 1 D_1 D1为积分区域在第一象限的部分为 x = 0 , y = 0 x=0,y=0 x=0,y=0, x + y = 1 x+y=1 x+y=1所围成的面积
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∬ D 1 x d σ = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x x d y \iint\limits_{D_1}x\mathrm d\sigma=\int_{0}^{1}\mathrm dx\int_{0}^{1-x}x\mathrm dy D1∬xdσ=∫01dx∫01−xxdy= ∫ 0 1 ( x ( y ∣ 0 1 − x ) ) d x \int_{0}^{1}(x(y|_{0}^{1-x}))\mathrm dx ∫01(x(y∣01−x))dx= ∫ 0 1 ( x − x 2 ) ) d x \int_{0}^{1}(x-x^2))\mathrm dx ∫01(x−x2))dx= 1 6 \frac{1}{6} 61
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变量的对称性@轮换对称计算
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若积分区域关于直线 y = x y=x y=x对称
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则积分区域 D D D的不等式或等式中将 x , y x,y x,y对调后,原等式或不等式不变
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这类对称下的积分满足: ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm d\sigma D∬f(x,y)dσ= ∬ D f ( y , x ) d σ \iint\limits_{D}f(y,x)\mathrm d\sigma D∬f(y,x)dσ
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例如,以下积分区域都是关于 y = x y=x y=x对称的
- x 2 + y 2 ⩽ R 2 x^2+y^2\leqslant R^2 x2+y2⩽R2;半径为 R R R的圆域
- x , y ∈ [ 0 , 1 ] ; x,y\in[0,1]; x,y∈[0,1];第一象限内的边长为1的正方形
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这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数
选择合适的坐标系
- 选择积分坐标系(根据积分区域的特点和被积函数的形式)
直角坐标系
- 关键是将二重积分化为累次积分
- 累次积分又有顺序之分
- 往往根据积分区域和被积函数来确定
- 累次积分又有顺序之分
先 y y y后 x x x
- D D D= { ( x , y ) ∣ ϕ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ϕ 2 ( x ) ; a ⩽ x ⩽ b } \set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant\phi_2(x);a\leqslant{x}\leqslant{b}} {(x,y)∣ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x);a⩽x⩽b}
- ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma D∬f(x,y)dσ= ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{(x)}}f(x,y)dy ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy
先 x x x后y
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D D D= { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ⩽ x ⩽ ψ 2 ( y ) ; a ⩽ y ⩽ b } \set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant\psi_2(y);a\leqslant{y}\leqslant{b}} {(x,y)∣ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y);a⩽y⩽b}
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ ϕ 1 ( y ) ϕ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}dy\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2{(y)}}f(x,y)dx D∬f(x,y)dσ=∫abdy∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx
极坐标系
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如果积分区域和圆相关
- 圆/扇环/扇形…
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被积函数是复合了下列函数的复合函数
- x 2 + y 2 , x y , y x \sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x} x2+y2,yx,xy
(1)
- x 2 + y 2 , x y , y x \sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x} x2+y2,yx,xy
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因为极坐标中
- x = r cos θ x=r\cos\theta x=rcosθ
- y = r sin θ y=r\sin\theta y=rsinθ
- 上述形式的函数可以消去 r r r或者 θ \theta θ,得到一个一元函数
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另一类被积函数是仅含 x 2 , y 2 x^2,y^2 x2,y2的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,正重要的是积分区间用极坐标表示更简单
确定积分区间
积分次序
- 确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑
积分限
- 确定累次积分的积分限
- 在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分
- 其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率
应用
例1
- 设 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ r 2 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{r^2}} D={(x,y)∣x2+y2⩽r2},则 ∬ D ( x 3 + sin y + 1 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3+\sin{y}+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3+siny+1)dxdy= π r 2 \pi{r^2} πr2
- 分析积分区域是一个圆,关于 x , y x,y x,y轴都对称,而 x 3 x^3 x3, sin y \sin{y} siny分别是关于 x , y x,y x,y的奇函数,从而
- ∬ D ( x 3 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3)dxdy=0
- ∬ D ( sin y ) d x d y \iint\limits_{D}(\sin{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(siny)dxdy=0
- ∬ D ( x 3 + sin y + 1 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3+\sin{y}+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3+siny+1)dxdy= ∬ D 1 d x d y \iint\limits_{D}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬1dxdy= π r 2 \pi{r^2} πr2
- 分析积分区域是一个圆,关于 x , y x,y x,y轴都对称,而 x 3 x^3 x3, sin y \sin{y} siny分别是关于 x , y x,y x,y的奇函数,从而
例2
- 设 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2}} D={(x,y)∣x2+y2⩽R2}, f ( x ) f(x) f(x)= x 2 a 2 + y 2 b 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} a2x2+b2y2则 ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬f(x,y)dxdy
- 这个形式适合用极坐标系积分,这样累次积分的积分区间形式简单
- x = r cos θ x=r\cos\theta x=rcosθ, y = r sin θ y=r\sin\theta y=rsinθ, r ∈ [ 0 , R ] r\in[0,R] r∈[0,R], θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]
- ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬f(x,y)dxdy= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R ( r 2 cos 2 θ a 2 + r 2 sin 2 θ b 2 ) r d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{R}(\frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{b^2})r\mathrm{d}r ∫02πdθ∫0R(a2r2cos2θ+b2r2sin2θ)rdr= R 2 4 ∫ 0 2 π ( 1 + cos 2 θ 2 a 2 + 1 − cos 2 θ 2 b 2 ) d θ \frac{R^2}{4}\int_{0}^{2\pi}(\frac{1+\cos2\theta}{2a^2}+\frac{1-\cos{2\theta}}{2b^2})\mathrm{d}\theta 4R2∫02π(2a21+cos2θ+2b21−cos2θ)dθ= π 4 R 2 ( 1 a 2 + 1 b 2 ) \frac{\pi}{4}R^2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) 4πR2(a21+b21)
例3
- 设 D D D= { ( x , y ) ∣ y = x 3 , y = 1 , x = − 1 围成的区域 } \set{(x,y)|y=x^3,y=1,x=-1围成的区域} {(x,y)∣y=x3,y=1,x=−1围成的区域},令 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)= x y f ( x 2 + y 2 ) xyf(x^2+y^2) xyf(x2+y2),求 ∬ D g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬g(x,y)dxdy
- 显然 D D D不关于任何坐标轴对称
- 但可以构造辅助线 y = − x 3 y=-x^3 y=−x3,使得 D D D划分成2个分别关于 x , y x,y x,y轴对称的区间
- 不妨将关于 x x x对称的区间记为 D x D_{x} Dx,将关于 y y y对称的区间记为 D y D_y Dy
- 观察 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)这是个关于 x , y x,y x,y都是奇函数的函数
- ∬ D g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬g(x,y)dxdy= ∬ D x g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_x}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dx∬g(x,y)dxdy+ ∬ D y g ( x , y ) d x d y \iint\limits_{D_y}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y Dy∬g(x,y)dxdy= 0 + 0 0+0 0+0=0
例4
- 设 D : ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1 D:|x|+|y|=1 D:∣x∣+∣y∣=1,上述积分区域下,求解如下积分
- 分析可知该区域同时关于 x , y x,y x,y轴对称
- ∬ D y e x 2 d σ = 0 \iint\limits_{D}ye^{x^2}\mathrm{d}\sigma=0 D∬yex2dσ=0
- 被积函数 y e x 2 ye^{x^2} yex2是关于 y y y的奇函数,区域 D D D关于 x x x轴对称,因此积分结果为0
- ∬ D ∣ x ∣ d σ \iint\limits_{D}|x|\mathrm d\sigma D∬∣x∣dσ= 4 ⋅ 1 6 = 2 3 4\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3} 4⋅61=32
- 被积函数 ∣ x ∣ |x| ∣x∣关于 x x x的偶函数,区域 D D D关于 y y y轴对称,积分结果为 2 ∬ D 1 x d σ 2\iint_{D_{1}}x\mathrm{d}\sigma 2∬D1xdσ= 2 ∫ 0 1 d x ∫ x − 1 − x + 1 x d y 2\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{x-1}^{-x+1}x\mathrm{d}y 2∫01dx∫x−1−x+1xdy= 2 3 \frac{2}{3} 32
- ∬ D ( ∣ x ∣ + y e x 2 ) d σ \iint\limits_{D}({|x|+ye^{x^2}})\mathrm{d}\sigma D∬(∣x∣+yex2)dσ= 2 3 \frac{2}{3} 32
- 被积函数关于 x x x的偶函数,区域关于 y y y轴对称,积分结果 2 ∬ D 1 x + y e x 2 d σ 2\iint_{D_{1}}{x+ye^{x^2}}\mathrm{d}\sigma 2∬D1x+yex2dσ= 2 ∬ D 1 x d σ 2\iint_{D_{1}}{x}\mathrm{d}\sigma 2∬D1xdσ+ 2 ∬ D 1 y e x 2 d σ 2\iint_{D_{1}}{ye^{x^2}}\mathrm{d}\sigma 2∬D1yex2dσ= 2 3 + 0 \frac{2}{3}+0 32+0= 2 3 \frac{2}{3} 32
- ∬ D y e x 2 d σ = 0 \iint\limits_{D}ye^{x^2}\mathrm{d}\sigma=0 D∬yex2dσ=0
例5
- 设两曲面 z 1 = 2 − x 2 − y 2 z_1=2-x^2-y^2 z1=2−x2−y2, z 2 z_2 z2= x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2;求两曲面所围成的空间区域体积 V V V
- 先求 V V V的投影 D D D,联立两个曲面方程,消去 z z z,得积分区域应为: 2 − x 2 − y 2 = x 2 + y 2 2-x^2-y^2=x^2+y^2 2−x2−y2=x2+y2,即 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1
- 记 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ 1 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{1}} D={(x,y)∣x2+y2⩽1}
- V V V= ∬ D ∣ z 1 − z 2 ∣ d x d y \iint\limits_{D}|z_1-z_2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬∣z1−z2∣dxdy= ∬ D ∣ 2 − 2 x 2 − 2 y 2 ∣ d x d y \iint\limits_{D}|2-2x^2-2y^2|\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬∣2−2x2−2y2∣dxdy
- 由积分区域 D D D可知 1 − x 2 − y 2 ⩾ 0 1-x^2-y^2\geqslant{0} 1−x2−y2⩾0,所以 V V V= 2 ∬ D ( 1 − x 2 − y 2 ) d x d y 2\iint\limits_{D}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2D∬(1−x2−y2)dxdy
- 该积分适合化为极坐标计算: V V V= 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ( 1 − r 2 ) r d r 2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}(1-r^2)r\mathrm{d}r 2∫02πdθ∫01(1−r2)rdr= π \pi π
例6
- 令 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= ( x + y ) 3 (x+y)^3 (x+y)3,区域 D D D由以下3个曲线围成
- x = 1 + y 2 x=\sqrt{1+y^2} x=1+y2,
- x + 2 y = 0 x+\sqrt{2}y=0 x+2y=0,
- x − 2 y = 0 x-\sqrt{2}y=0 x−2y=0
- 求 V = ∬ D f ( x , y ) d x d y V=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y V=D∬f(x,y)dxdy
- 分析 D D D:第一个方程是双曲线 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1在 x ⩾ 0 x\geqslant{0} x⩾0区间上的部分,而第2,3个方程是关于 x x x轴对称的过原点的直线方程
- 并且联立方程(1,2),(1,3)得到2个方程组,解得两个对称的交点为 ( 2 , 1 ) (\sqrt{2},1) (2,1), ( 2 , 1 ) (\sqrt{2},1) (2,1),因此可以明确直线和双曲线必相交,能够构成封闭区域
- 观察区域 D D D图形可知, D D D关于 x x x轴对称
- 将 f ( x ) f(x) f(x)展开: f ( x ) f(x) f(x)= x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 x3+3x2y+3xy2+y3,所以
- V V V= ∬ D ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy
- 其中 3 x 2 y 3x^2y 3x2y, y 3 y^3 y3都是关于 y y y的奇函数,因此这两项积分结果为0
- 而剩余两项都是关于 y y y的偶函数
- x 3 , 3 x y 2 x^3,3xy^2 x3,3xy2都可以视为二元函数, x 3 = x 3 y 0 x^3=x^3y^{0} x3=x3y0,也可以视为关于 y y y的偶函数,积分区域可以再次收缩
- V V V= ∬ D ( x 3 + 3 x y 2 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3+3xy^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3+3xy2)dxdy= 2 ∬ D 1 ( x 3 + 3 x y 2 ) d x d y 2\iint\limits_{D_1}(x^3+3xy^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2D1∬(x3+3xy2)dxdy= 2 ∫ 0 1 d y ∫ 2 y 1 + y 2 ( x 3 + 3 x y 2 ) d x 2\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}}(x^3+3xy^2)\mathrm{d}x 2∫01dy∫2y1+y2(x3+3xy2)dx= 2 [ ∫ 0 1 ( 1 4 x 4 + 3 2 y 2 x 2 ) ∣ 2 y 1 + y 2 d y ] 2[\int_{0}^{1}(\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}y^2x^2)|_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}}\mathrm{dy}] 2[∫01(41x4+23y2x2)∣2y1+y2dy]= 2 [ ∫ 0 1 ( − 9 4 y 4 + 2 y 2 + 1 4 ) d y ] 2[\int_{0}^{1}(-\frac{9}{4}y^4+2y^2+\frac{1}{4})\mathrm{d}y] 2[∫01(−49y4+2y2+41)dy]= 14 15 \frac{14}{15} 1514
- V V V= ∬ D ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d x d y \iint\limits_{D}(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy