环 (代数)

近代数学非常有意思的部分，废话不多讲直接开X

一些定义

• 二元运算(Operation) :
  
  
  (当然a b和c都属于集合Set)
• 集合R和定义于其上的二元运算 + 和· (PS:这里的加法可以是任何符合Abelian group条件的运算，而乘法则不必。若要具备就太简单没啥意思)，(R, +, ·)构成一个环(Ring)，若它们满足：

  1.(R, +)形成一个交换群(Abelian group)，其单位元称为零元素，记作‘0’。即：
      (R, +)是封闭的
      (a + b) = (b + a)
      (a + b) + c = a + (b + c)
      0 + a = a + 0 = a
      ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
  2.(R, ·)形成一个半群，即：
      (a·b)·c = a·(b·c)
      (R, ·)是封闭的
  3.乘法关于加法满足分配律：
      a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
      (a + b)·c = (a·c) + (b·c)
  只要能有运算 并能有以上定义(亦可称公理假设)都可以称环

• 举几个栗子
  整数 Z 实数 R 复数 C 有理数 Q 这些事直观上简单那笔划两下就可得到的
  非直观的有多项式环 模k剩余类环 。。。
• 基本性质

  ∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）
  ∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

• 其他环

  1. 若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。
     此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。
     2.交换环 : ∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。
     环中元素a 若存在属于环的b且不等于0 使得ab=0 则称a为R的左零因子(右因子亦然)
     若在交换环中左右零因子为零因子。
     4.无零因子的交换幺环称为整环
     5.唯一分解整环 : 整环 R，使得其中每个非零不可逆元皆可表成素元(类似素数)的积
     (可能一下子想到的例子只有整环 因为是在其上做的推广)
     6.若环R是幺环，且R去掉0对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R{0}(抠掉0的环)，∃a^{{-1}∈R{0}，使得a}{-1}·a=a·a^{-1}=1。则R称为除环
     7.域 : 交换性除环。(做经典的例子二进制域 F₂)