递推算法讲解

递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构 造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为 I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。 
【问题】    阶乘计算 
问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。 
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储： 
   N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100 
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为： 
3    0    2    1    …… 
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。 
   计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。 
# include 
# include 
# define MAXN    1000 
void pnext(int a[ ],int k) 
{    int *b,m=a[0],i,j,r,carry; 
   b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1)); 
   for ( i=1;i<=m;i++)      b =a; 
   for ( j=1;j<=k;j++) 
   {    for ( carry=0,i=1;i<=m;i++) 
     {    r=(i<a[0]?a+b:a)+carry; 
       a=r%10; 
       carry=r/10; 
     } 
     if (carry) a[++m]=carry; 
   } 
   free(b); 
   a[0]=m; 
} 

void write(int *a,int k) 
{    int i; 
   printf(“%4d！=”,k); 
   for (i=a[0];i>0;i--) 
     printf(“%d”,a); 
printf(“\n\n”); 
} 

void main() 
{    int a[MAXN],n,k; 
   printf(“Enter the number n: “); 
   scanf(“%d”,&n); 
   a[0]=1; 
   a[1]=1; 
   write(a,1); 
   for (k=2;k<=n;k++) 
   {    pnext(a,k); 
     write(a,k); 
     getchar(); 
   } 
}