HDU 4549M斐波那契数列(矩阵快速幂+费马小定理)

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    0 1 0
6 10 2
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    0
60
   
   
   
   

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

                  题目大意： 题目易懂，主要是数据太大。自己了解的降幂公式没有这么吊。这个也不需要讨论。如果mod为质数的话，根据费马小定理可以得到：a^p%(mod)=a^(p%(mod-1)). mod为质数

           解题思路：根据题意，慢慢可以推公式。可以得到他们a,b的次数实际上是服从斐波那契数列的，不过需要用到矩阵的快速幂去计算。然后就是快速幂把结果算出来。

详解见代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int mo=1e9+7;
__int64 ret[2][2],tmp[2][2],p[2][2];
__int64 n;

void init()  //初始化
{
    ret[0][0]=1; ret[0][1]=1;
    ret[1][0]=1; ret[1][1]=0;
    p[0][0]=1; p[0][1]=1;
    p[1][0]=1; p[1][1]=0;
}

void cal1()  //!(n&1)
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<2;i++)
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            tmp[i][j]=p[i][j];
            p[i][j]=0;
        }

    for(i=0;i<2;i++)
        for(j=0;j<2;j++)
          for(k=0;k<2;k++)
             p[i][j]=(p[i][j]+tmp[i][k]*tmp[k][j])%(mo-1);
}

void cal2()  //n&1
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<2;i++)
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            tmp[i][j]=ret[i][j];
            ret[i][j]=0;
        }

    for(i=0;i<2;i++)
        for(j=0;j<2;j++)
          for(k=0;k<2;k++)
             ret[i][j]=(ret[i][j]+tmp[i][k]*p[k][j])%(mo-1);
}

void fastmi()  //矩阵的快速幂
{
    init();
    n-=3;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            cal2();
        cal1();
        n>>=1;
    }
}

__int64 pow(__int64 base,__int64 p)  //快速幂
{ 
    __int64 ans=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=(ans*base)%mo;
        base=(base*base)%mo;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    __int64 a,b;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n))
    {
        __int64 ans1,ans2,res1,res2;
        if(n==0) ans1=1,ans2=0;
        else if(n==1) ans1=0,ans2=1;
        else if(n==2) ans1=1,ans2=1;
        else
        {
            fastmi();
            ans2=(ret[0][0]+ret[0][1])%(mo-1);  //b的次数
            ans1=(ret[1][0]+ret[1][1])%(mo-1);  //a的次数
            //printf("%I64d %I64d\n",ans1,ans2);
        }

        res1=pow(a,ans1);
        res2=pow(b,ans2);
        __int64 res=(res1*res2)%mo;
        printf("%I64d\n",res);
    }
    return 0;
}