扩展欧几里得算法及其应用

    • 求解不定方程
    • 求解模线性方程线性同余方程
    • 求解模的逆元
    • 总结
    • References

可公度线段与欧几里得(Euclid)算法

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。已知整数 a,b ,扩展欧几里得算法可以在求得 a,b 的最大公约数( gcd(a,b) )的同时,能找到整数 x,y (其中一个很可能是负数)(贝祖等式告知等式有解),使它们满足 Bézout’s identity(贝祖等式), d=gcd(a,b)=ax+by ,如果 a,b 互质又可改写为 1=gcd(a,b)=ax+by ,又可用同余的观点改写本式, ax1(modb) ,或者写作 axmodb=1 。比如用来计算 115xmod367=1 中的 x ,因为115与367互质,所以 d=gcd(115,367)=1 ,也即该等式满足贝祖等式,也即等式有解。

def ext_euclid(a, b):
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    d, x, y = ext_euclid(b, a%b)
    return (d, y, x-a//b*y)
            # 返回三元组
if __name__ == '__main__':
    print(ext_euclid(115, 367))
            # (1, 150, -47)

扩展欧几里得算法主要有下列应用:

求解不定方程

ax+by=gcd(a,b)akx+bky=kgcd(a,b)ax+by=cax+by=c

可见对 c 必须是 gcd(a,b) 的倍数 ;

def linear_equation(a, b, c):
    d, x, y = ext_euclid(a, b)
    if c%d:
        raise 'no solution'
    k = c//d
    return d, x*k, y*k

if __name__ == '__main__':
    print(linear_equation(6, 8, 4))
                    # 6x+8y=4
                    # (2, -2, 2)
                    # 6与8的最大公约数:8
                    # x=-2, y=2

求解模线性方程(线性同余方程)

同余方程 axb(modn) (也即 axmodn=b )对于未知数有解,当且仅当 gcd(a,n)|b (也即 bmodgcd(a,n)=0 )。当方程有解时,方程有 gcd(a,b) 个解;

def mod_linear_equation(a, b, n):
            # ax === b (mod n)
    d, x, y = ext_euclid(a, n)
    if b%d:
        raise 'no solution'
    x0 = x*(b//d)%n    
            # 特解
            # 通解:
            # [(x0+i*(n//d))%n for i in range(d)]
    return d, x0

我们来看通解的求法,记解之间的间隔为 dx ,则:

axb(modn)a(x+dx)b(modn)adx0(modn)

也即 n|adx ,又 a|adx ,可见 adx a,n 的公倍数,又 d a,n 的最大公约数,所以 dx=anad=nd

求解模的逆元

同余方程 axb(modn) ,如果 gcd(a,n)==1 ,则方程只有唯一解,在这种情况下,如果 b==1 ,同余方程 ax1(modn),gcd(a,n)==1 ,此时称求得的 x a 对模 n 乘法的逆元。

其实对于同余方程 ax1(modn),gcd(a,n)=1 的求解就是求解方程 ax+ny=gcd(a,n)=1

总结

axmodn=b

a,n 互质,一定有解;
gcd(a,n)|b ,也有解,否则无解;

References

[1] 扩展欧几里得算法

[2] 算法导论,chap 31 数论算法

[3] 扩展欧几里得算法

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