扩展欧几里得算法及其应用

可公度线段与欧几里得（Euclid）算法

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数 a,b ，扩展欧几里得算法可以在求得 a,b 的最大公约数（ gcd(a,b) ）的同时，能找到整数 x,y （其中一个很可能是负数）（贝祖等式告知等式有解），使它们满足 Bézout’s identity（贝祖等式）， d=gcd(a,b)=ax+by ，如果 a,b 互质又可改写为 1=gcd(a,b)=ax+by ，又可用同余的观点改写本式， ax≡1(modb) ，或者写作 axmodb=1 。比如用来计算 115⋅xmod367=1 中的 x ，因为115与367互质，所以 d=gcd(115,367)=1 ，也即该等式满足贝祖等式，也即等式有解。

def ext_euclid(a, b):
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    d, x, y = ext_euclid(b, a%b)
    return (d, y, x-a//b*y)
            # 返回三元组

if __name__ == '__main__':
    print(ext_euclid(115, 367))
            # (1, 150, -47)

扩展欧几里得算法主要有下列应用：

求解不定方程

ax+by=gcd(a,b)⇓akx+bky=kgcd(a,b)⇓ax′+by′=c⇓ax+by=c

可见对 c 必须是 gcd(a,b) 的倍数 ；

def linear_equation(a, b, c):
    d, x, y = ext_euclid(a, b)
    if c%d:
        raise 'no solution'
    k = c//d
    return d, x*k, y*k

if __name__ == '__main__':
    print(linear_equation(6, 8, 4))
                    # 6x+8y=4
                    # (2, -2, 2)
                    # 6与8的最大公约数：8
                    # x=-2, y=2

求解模线性方程（线性同余方程）

同余方程 ax≡b(modn) （也即 axmodn=b ）对于未知数有解，当且仅当 gcd(a,n)|b （也即 bmodgcd(a,n)=0 ）。当方程有解时，方程有 gcd(a,b) 个解；

def mod_linear_equation(a, b, n):
            # ax === b (mod n)
    d, x, y = ext_euclid(a, n)
    if b%d:
        raise 'no solution'
    x0 = x*(b//d)%n    
            # 特解
            # 通解：
            # [(x0+i*(n//d))%n for i in range(d)]
    return d, x0

我们来看通解的求法，记解之间的间隔为 dx ，则：

ax≡b(modn)a(x+dx)≡b(modn)⇓a⋅dx≡0(modn)

也即 n|a⋅dx ，又 a|a⋅dx ，可见 a⋅dx 是 a,n 的公倍数，又 d 是 a,n 的最大公约数，所以 dx=ana⋅d=nd 。

求解模的逆元

同余方程 ax≡b(modn) ，如果 gcd(a,n)==1 ，则方程只有唯一解，在这种情况下，如果 b==1 ，同余方程 ax≡1(modn),gcd(a,n)==1 ，此时称求得的 x 为 a 对模 n 乘法的逆元。

其实对于同余方程 ax≡1(modn),gcd(a,n)=1 的求解就是求解方程 ax+ny=gcd(a,n)=1 。

总结

axmodn=b

a,n 互质，一定有解；
gcd(a,n)|b ，也有解，否则无解；

References

[1] 扩展欧几里得算法

[2] 算法导论，chap 31 数论算法

[3] 扩展欧几里得算法