关于一个欧拉函数的性质的证明

这个性质是这样的：
对于任意的 n∈N* ，有：

∑d|nφ(d)=n

证明

设

f(n)=∑d|nφ(d)

首先，当 n=1 时，

f(1)=1

性质显然成立.
当 n=p 时( p 为质数)，

f(n)=φ(1)+φ(n)=1+(n−1)=n

显然成立.
当 n=pk 时，

f(n)=1+∑i=0k−1pi(p−1)

=1+(p−1)∑i=0k−1pi

=1+(p−1)∗pk−1p−1=1+pk−1=pk=n

成立.
因为 φ(n) 是积性函数，根据莫比乌斯反演的充要性，得 f(n) 是积性函数.
对于一般形式 n=∏ki=1piei

f(n)=∏ki=1f(piei)

=∏ki=1piei

=n

另外有一种证法参见 Alan的blog(%%%)