欧拉函数

对正整数n，欧拉函数是小于n的数中与n互质的数的数目

欧拉函数与组合数学中的计数原理和容斥原理有着密切的联系。

Euler函数表达通式：

其中 为x的所有素因子，x是不为0的整数。

euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有 (可用于求解逆元）

若m,n互质， ——积性函数的性质

同时，欧拉函数也能这样计算：   其中是一个素数.

因为除了的倍数其他数字均和互质。而的倍数有个，所以

当初学习欧拉函数时我隐隐觉得它和容斥原理有什么联系，现在明白了，计数原理能解释欧拉函数。

欧拉函数的等式：

由算术基本定理（正整数的唯一分解定理）：

那么，在1——n内和n互质的数这样求解：先除减去能被一个素因子整除的数：

发现多减了，再加上两个素因子乘积计算结果：

再减去三个素因子的乘积计算结果：

......

整理得到：

它也就是：

实现代码：

由表达式得到：

int Euler(int n){
    int ans=n,a=n;
    for(int i=2;i*i<=a;i++){
        if(a%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(a%i==0){
                a/=i;
            }
        }
    }
    if(a>1) ans=ans/a*(a-1);
    return ans;
}

递推（筛法）求欧拉函数：

void Euler(int Max){
    for(int i=1;i<Max;i++)  phi[i]=i;
    for(int i=2;i<Max;i++) {
        if(phi[i]==i){
            for(int j=i;j<Max;j+=i){
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}