怎样理解泊松分布

一直不是特别理解泊松分布，只知道分布函数的公式。最近听了可汗学院的两节讲解，根据自己的理解记录一下。
文后有可汗学院公开课链接。

1. 定义

【维基百科】 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。

2. 理解

举个例子：求某道路某地点每小时经过车辆数的分布。

1.求的是什么的分布

随机变量 X：每小时经过的车辆数
密度函数：P(X=k)：每小时经过k量车的概率
所以实际上求的就是每小时经过k辆车的概率分布。

2.与投掷多次硬币事件有什么关系

Note:
投掷多次硬币（假设60次）的时候，每次投掷都是独立的，正面概率为p，我们将投掷60次硬币，获得多少正面记为随机变量X，得到的概率分布为二项分布。

同样的，我们可以将“每小时经过的车辆数”看成是60分钟里，每分钟经过车辆数的和。我们将每分钟内有车经过指定地点看成事件成功，而没有车经过看成事件失败。一个小时，看成是独立重复60次试验。将这个问题转化为一个二项分布问题。

3. 如何求独立时间成功概率p

Note:
通过观察已知平均每小时通过的车辆数为ℷ，ℷ为数学期望，因为符合二项分布，所以数学期望ℷ=np
每个单位时间内某指定地点经过车辆的概率为ℷ/n, n为将1小时划分为多少个单位时间段。

4. 问题的转化

假设求解P(X=3)每小时经过3辆车的概率。

将一小时划分成60分钟，密度函数转化为（从60分钟里挑选出 3 个 1 分钟的可能组合数）* 任意一分钟有车经过的概率（ℷ/60）* 任意一分钟没有车经过的概率（1-ℷ/60）
这可能存在的问题是，每分钟不止经过一辆车，单次时间的概率总是为1。
我们可以继续将时间段变小，变成秒，则密度函数为：（从3600秒里挑选出 3 秒的可能组合）* 任意一秒有车经过的概率（ℷ/3600）* 任意一秒没有车经过的概率（1-ℷ/3600）
这可能还是存在问题，可能每一秒都不止一辆车通过。

所以我们需要将时间段无限细分，就像是抛掷无数次硬币，求解得到正面为k次的分布。

3. 公式推导

$$\begin{array}{r}\underset{n->\infty }{\lim }{(}_k^n)\ast (\frac{\lambda }{n}{)}^k\ast (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}\\ \\ =\underset{n->\infty }{\lim }\frac{n!}{(n-k)!k!}\ast \frac{{\lambda }^k}{n^k}\ast (1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\ast (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\\ \\ =\underset{n->\infty }{\lim }\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\ast \frac{{\lambda }^k}{k!}\ast \underset{n->\infty }{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\ast \underset{n->\infty }{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\\ \\ =1\ast \frac{{\lambda }^k}{k!}\ast e^{-\lambda }\ast 1\\ \\ =\frac{{\lambda }^k}{k!}\ast e^{-\lambda }\end{array}$$

4. 总结

泊松分布其实就是一个特殊的二项分布，当二项分布的试验次数 n 无穷大的时候，需要得到成功次数为k的分布就是泊松分布。
因为通常时间是一个可以无限细分的量，所以泊松分布常应用于某时间段内事件成功的概率问题。

拓展链接：
可汗学院-泊松分布1
可汗学院-泊松分布2