初等数论 1.4 Fibonacci数列

定义：Fibonacci数列：$f_1=1,f_2=1$，且对$n\ge 3$，$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

约定：$f_0=0$.

推论：Fibonacci数$$f_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n}{\sqrt{5}}$$
定理：Fibonacci数列的一些性质：$$f_{2n}=f_n^2+2f_{n-1}{f}_n$$ $$f_{n-2}+f_{n+2}=3f_n$$ $$f_{n+1}{f}_{n-1}-f_n^2=(-1{)}^n$$ $$f_{m+n}=f_m{f}_{n+1}+f_n{f}_{m-1}$$ $$\sum _{k=1}^n{f}_k=f_{n+2}-1$$ $$\sum _{k=1}^n{f}_{2k-1}=f_{2n}-f_2+f_1$$ $$\sum _{k=1}^n{f}_{2n}=f_{2n+1}-f_1$$ $$\sum _{k=1}^n{f}_k^2=f_n{f}_{n+1}$$ $$\sum _{k=1}^{2n-1}{f}_k{f}_{k+1}=f_{2n}^2$$
定义：黄金分割比（Golden ratio）$\phi :=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

定义：Lucas数列：$L_1=1,L_2=3$，且对$n\ge 3$，$L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$
$L_n=(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$
Lucas数列也具有Fibonacci数列类似的性质.

定理：Zeckendorf表示：对于任意$n\in \mathbb{N}$，存在唯一的一组Fibonacci子列，使得$n=\sum _{i=0}^k{F}_{c_i}$，其中$c_i\ge 2,c_{i+1}>c_i+1$
定义：广义Fibonacci数列：$g_1=a,g_2=b$，且对$n\ge 3$，$g_n=g_{n-1}+g_{n-2}$

$g_n=a{f}_{n-2}+b{f}_{n-1}n\ge 3$

当$n$为负整数时，递归定义Fibonacci数$f_{n-2}:=f_n-f_{n-1}$

$f_{-n}={(-1)}^{n+1}{f}_n$