２．矩阵消元

本片博客讲解一下线性代数中的矩阵消元，用于求 Ax=b A x = b 的解，只是简述，更多的是一个总结而不是学习资料

消元矩阵(elimination matrix)

对矩阵消元，但是不改变矩阵行的位置，比如：
单位矩阵为：

⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

想要从第二行减去２倍的第一行的消元矩阵 E21 E 21 为：

⎡⎣⎢⎢1−20010001⎤⎦⎥⎥ [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ]

可以看到，第一行和第三行保持不变，被改变的只有第二行．

置换矩阵(permutation matrix)

同样以单位矩阵为例子:

⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

置换矩阵 P12 P 12 代表矩阵的第一行和第二行互换:

⎡⎣⎢⎢010100001⎤⎦⎥⎥ [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ]

增广矩阵(augmented matrix)

在矩阵消元的过程中 Ax=b A x = b 中， A A 和 b b 的消元步骤是一样的，所以说可以把 b b 当作一个特殊的列加在A后面，同时进行消元．比如：

⎡⎣⎢⎢24−34−9−3−2−37b1b2b3⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 b 1 4 − 9 − 3 b 2 − 3 − 3 7 b 3 ]

矩阵消元:

只用一个最简单的3*3的矩阵来举例子，很容易推广到增广矩阵情况下，以及更多未知数的情况
如下矩阵

⎡⎣⎢⎢24−34−9−3−2−37⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 4 − 9 − 3 − 3 − 3 7 ]

从第二行减去２倍的第一行:

⎡⎣⎢⎢20−34−17−3−217⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 0 − 17 1 − 3 − 3 7 ]

第三行加上 3/2倍的第一行

⎡⎣⎢⎢2004−173−214⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 0 − 17 1 0 3 4 ]

第三行加上3/17倍的第二行：

⎡⎣⎢⎢2004−170−2171/17⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 0 − 17 1 0 0 71 / 17 ]

第三行乘以17:

⎡⎣⎢⎢2004−170−2171⎤⎦⎥⎥ [ 2 4 − 2 0 − 17 1 0 0 71 ]

最后结果是一个上三角矩阵，代表消元完成，之后进行回代，就可以算出x,y,z的值，不再赘述．