向量和向量空间

向量和向量空间

数域F中的n个数 x1,⋯,xn 组成的有序数组 [x1,⋯,xn] ，在数学上称为数域F上的n维（行）向量。

向量的运算

设 α=[a1,⋯,an]T ， β=[b1,⋯,bn]T 都是n维列向量。

1. 加法   α+β=[a1+b1,⋯,an+bn]T.
2. 数乘  设k为一数，则 kα=[ka1,⋯,kan]T.
3. 内积  也称为点乘，若 α,β 都是实向量则 ⟨α,β⟩=α⋅β=∑ni=1aibi
4. 外积  也称为叉乘和向量积，两个向量的外积依然是向量，方向与两个向量组成的平面垂直遵守右手定则。大小  |α×β|=|α|⋅|β|⋅sinθ

Cauchy-Schwarz不等式：

|⟨α,β⟩|≤|α|⋅|β|.

即两个向量内积的绝对值小于等于两个向量的模相乘。 等号在两个向量方向相同或相反时成立。

向量组的线性相关性和向量组的秩

给定向量组 α1,α2,⋯,αs ，如果存在不全为零的数 k1,⋯,ks 使得

k1α1+⋯+ksαs=0,

则称向量组线性相关。否则，称这个向量组线性无关。

对向量 α 和向量组 α1,α2,⋯,αs ，如果有一组数 k1,k2,⋯,ks ，使：

α=k1α1+⋯+ksαs

则称 α 可用 α1,α2,⋯,αs 线性表出。

定理（线性相关和线性表出的关系）：向量组 α1,α2,⋯,αs(s≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能用其余向量线性表出。

下面讨论向量组的关系；
设有两个组：
(a)α1,⋯,αr;
(b)β1,⋯,βr.
如果向量组a与向量组b能相互线性表出，则称这两个向量组等价，记作 a≅b 。

定理：如果两个线性无关向量组 α1,⋯,αr 和 β1,⋯,βr 等价，则 r=s 。

设S是一个向量组， α1,α2,⋯,αr 是它的一个子组，如果 α1,α2,⋯,αr 线性无关，且S中任一向量都可用这个子组线性表出，则称 α1,α2,⋯,αr 是向量组S的一个极大线性无关组。一般来说向量组的极大线性无关组不是唯一的，但它们之间必定是等价的，极大线性无关组所含向量的个数r是由原向量组唯一确定的，我们称这个数为该向量组的秩。

向量空间

向量空间定义：设V是数域F上的 n 维向量组成的非空集合，如果集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V为F上的向量空间。

子空间定义：设 V1 和 V2 都是同一数域F上的向量空间，若 V1⊆V2 ，则称 V1 是 V2 的子空间。

基和维数定义：设V是向量空间，如果 α1,α2,⋯,αr 是V中给定顺序的一个极大线性无关组，则称它是V的一个基，即为 B={α1,α2,⋯,αr} ，其向量个数r称为V的维数。记作 dimV=r

正交基和标准正交基的定义：设 {α1,α2,⋯,αr} 是n维向量空间V的一个基，若它们两两正交，则称该基为V的一个正交基。若每个向量 αi 还都是单位向量，则称它为V的一个标准正交基。

Schmidt正交化方法：
设 {α1,α2,⋯,αr} 是向量空间V的一个基，用如下做法得出一个标准正交基：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪β1=α1,ϵ1=β1|β1|,β2=α2−⟨α2,ϵ1⟩ϵ1,ϵ2=β2|β2|,⋮βn=αn−⟨αn,ϵ1⟩ϵ1−⋯−⟨αn,ϵn−1⟩ϵn−1,ϵn=βn|βn|,

例题 已知 {α1=[1,1,0]T,α2=[2,0,1]T,α3=[2,2,1]T} 是三维欧氏空间 R3 的一个基，用这个基求 R3 得一个标准正交基。
解  取 β1=α1=[1,1,0]T ，单位化后得

ϵ1=β1|β1|=12√[1,1,0]T

由于 ⟨α2,ϵ1⟩=2√ ，所以

β2=α2−⟨α2,ϵ1⟩ϵ1=[2,0,1]T−[1,1,0]T=[1,−1,1]T

单位化得   ϵ2=β2|β2|=13√[1,−1,1]T.

β3=α3−⟨α3,ϵ1⟩ϵ1−⟨α3,ϵ2⟩ϵ2=[2,2,1]T−[2,2,0]T−13[1,−1,1]T=13[−1,1,2]

单位化后得： ϵ3=16√[−1,1,2]T

关于Schmidt正交化方法的python实现代码：

import numpy as np


def schmidt_norm_orth(array):
    col = array.shape[0]
    for i in range(col):
        j = i
        col_now = array[i]
        beta_now = col_now
        while j > 0:
            j -= 1
            beta_now -= np.dot(col_now, array[j]) * array[j]
        epsilon_now = beta_now / np.linalg.norm(beta_now)
        array[i] = epsilon_now
    return array