初等数论 1.3 数学归纳法

定理：数学归纳原理（The principle of mathematical induction）：一个包含整数1的正整数集合如果具有性质：若其包含整数$k$，则其也包含整数$k+1$，那么这个集合一定是所有正整数的集合.

证明：设$S$是包含整数1的正整数集合，并且如果它包含整数$n$，则一定包含$n+1$.假定$S$不是所有正整数的集合，则存在正整数不在$S$中.由良序性质，在不属于$S$的所有正整数中存在一个最小的正整数，记为$n$.且$1$在$S$中，$n̸=1$，则$n>1$.由$n-1\in S$，则根据$S$的性质，$n\in S$，矛盾.所以$S$是所有正整数的集合.

定理：第二数学归纳原理：对于包含$1$的正整数集合，如果它具有性质对每一个正整数$n$，如果它包含全体正整数$1,2,\cdots ,n$，则它也包含整数$n+1$，那么这个集合一定是由所有正整数构成的集合.

证明：设$T$是一个包含$1$的正整数集合.并且对于任何正整数$n$，如果它包含整数$1,2,\cdots ,n$，则它也包含$n+1$.设$S$是所有使得小于等于$n$的正整数都在$T$中的正整数$n$的集合，$S\subset T$.则$1$在$S$中.由数学归纳原理，$S$是所有正整数的集合，则$T$是由所有正整数构成的集合.

定义：对于函数$f$是递归定义的：给出$f$在$1$处的值，对于任一正整数$n$，存在由$f(n)$指向$f(n+1)$的映射关系.

由数学归纳原理，递归定义的函数在每个正整数上是唯一定义的.