非线性系统的积分

非线性系统模型

2. Lorenz-63模型

Lorenz-63 模型是1963年 Lorenz和 Saltzman在研究流体有限振幅对流时提出的非线性模式。
是一种形式简单的强非线性模型。

上图理想的曲线(不含噪声)，下图为SCKF滤波得到的曲线

下面叠加白噪声：标准差分别为 0.1


问题是，经过SCKF滤波估计之后的状态，有比直接观测得到的状态更好吗？
衡量跟踪效果的指标：RMSE

1. 目标跟踪模型

【040】飞行器以未知角速度 Ω Ω 在水平面内持续不断地机动飞行，其模型为五位非线性系统，模型方程如下：(参数设置在本节最后)

不考虑噪声 以及 添加系统噪声，T=100s 位置曲线为：

（放大之后可以发现不完全重合）

状态 x=[ξξ˙ηη˙Ω]T x = [ ξ ξ ˙ η η ˙ Ω ] T ，分别为位置、速度、角速度；

rk∼N(0,Q),Q=diag[q1Mq1Mq2T],M=[T3/3T2/2;T2/2T]; r k ∼ N ( 0 , Q ) , Q = d i a g [ q 1 M q 1 M q 2 T ] , M = [ T 3 / 3 T 2 / 2 ; T 2 / 2 T ] ;

---

雷达对飞行器进行测量，两者斜距为 r r ，方位角为 θ θ

[rkθk]=[ξ2k+η2k−−−−−−√tan−1(ηk/ξk)]+vk [ r k θ k ] = [ ξ k 2 + η k 2 t a n − 1 ( η k / ξ k ) ] + v k

vk∼N(0,R),Q=diag[σ2rσ2θ]; v k ∼ N ( 0 , R ) , Q = d i a g [ σ r 2 σ θ 2 ] ;
不添加噪声，以及添加观测噪声 绘制曲线

（当小的噪声出现在分母上，影响被放大了）

---

在本模型中，已经无法根据观测值，直接反解
下面利用观测值，进行滤波，得到状态的估计值。

2. 系统参数及初始值

3. 贝叶斯框架下的滤波方程

[1] 李秋荣. 改进容积卡尔曼滤波及其导航应用研究[D]. 哈尔滨工程大学, 2015.