title: 傅里叶变换
date: 2019-06-10 23:46
categories: 数学
tags: [数学, 图像处理]
keywords: FFT, 傅里叶变换, 图像处理
mathjax: true
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图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图形进行变换,这篇文章介绍一下傅里叶变换
- 定义
- 连续
- 离散
- 性质
- 分离性
- 位移定理
- 周期性
- 共轭对称性
- 旋转性
- 加法定理
- 平均值
- 相似性定理
- 卷积定理
- 相关定理
- Rayleigh 定理
- 快速傅里叶变换
- 复数中的单位根
- 快速傅里叶变换的计算
- 代码
- 参考
图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法
- 傅立叶变换Fourier Transform
- 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
- 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
- 斜变换Slant Transform
- 哈尔变换Haar Transform
- 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
- 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
- 离散小波变换Discrete Wavelet Transform
这篇文章介绍一下傅里叶变换
定义
连续
积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在，即
并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在
- 一维傅里叶变换
- 一维傅里叶逆变换
同理多重积分
离散
实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
- 一维傅里叶变换
- 一维傅里叶逆变换
需要注意的是， 逆变换乘以 是为了归一化，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 , 逆变换就不乘，或者两者都乘以等系数。 - 二维傅里叶变换
- 二维傅里叶逆变换
幅度
相位
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示
用 <=> 表示傅里叶变换对
f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H
表示 的共轭
性质
分离性
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。
位移定理
周期性
共轭对称性
a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.
旋转性
if
then
加法定理
平均值
相似性定理
尺度变换
卷积定理
卷积定义
1d
2d
卷积定理
离散卷积
用
即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积
卷积的应用：
去除噪声， 特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。
相关定理
下面用 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量
- 相关函数的定义
离散
连续
- 定理
Rayleigh 定理
能量变换
对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
其变换函数与原函数有相同的能量
快速傅里叶变换
由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 。
利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 的时间复杂度。
复数中的单位根
我们知道， 在复平面，复数 k可以表示成 ， 可以对应一个向量。即为幅角。
在单位圆中 ，单位圆被分成 份， 由单位圆的对称性
现在记 ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为，
其余的 n-1 个向量分别为 ，它们可以由复数之间的乘法得来 。
单位根的性质
- 这个可以用 e 表示出来证明
- 可以写成三角函数证明
容易看出 。
对于 , 它事实上就是 。
快速傅里叶变换的计算
下面的推导假设 ，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。
利用上面的对称性，
将傅里叶计算进行奇偶分组
表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， 同理，这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。
对于
现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
那么傅里叶变换为：
代码
下面是 python 实现
一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用 直接实现。
二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
GitHub
import numpy as np
def _fft(a, invert=False):
N = len(a)
if N == 1:
return [a[0]]
elif N & (N - 1) == 0: # O(nlogn), 2^k
even = _fft(a[::2], invert)
odd = _fft(a[1::2], invert)
i = 2j if invert else -2j
factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
prod = factor * odd
return np.concatenate([even + prod, even - prod])
else: # O(n^2)
w = np.arange(N)
i = 2j if invert else -2j
m = w.reshape((N, 1)) * w
W = np.exp(m * i * np.pi / N)
return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
(N, 1)))) # important, cannot use *
def fft(a):
'''fourier[a]'''
n = len(a)
if n == 0:
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
return _fft(a)
def ifft(a):
'''invert fourier[a]'''
n = len(a)
if n == 0:
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
return _fft(a, True) / n
def fft2(arr):
return np.apply_along_axis(fft, 0,
np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))
def ifft2(arr):
return np.apply_along_axis(ifft, 0,
np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))
def test(n=128):
print('\nsequence length:', n)
print('fft')
li = np.random.random(n)
print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))
print('ifft')
li = np.random.random(n)
print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))
print('fft2')
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))
print('ifft2')
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))
if __name__ == '__main__':
for i in range(1, 3):
test(i * 16)
参考
- 万寿红老师课件
- 一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform
- 快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】