概率论与数理统计

本博客用于记录概率论与数理统计学习笔记。

p1 绪论

p2 样本空间和随机事件

随机试验

1. 在同样条件下重复进行
2. 知道所有试验可能出现的结果
3. 在实验室不知道这次会出现哪个结果

样本空间（集合）

随机试验所有可能的结果。

随机事件

样本空间的子集。
几个特殊的随机事件：

1. 必然事件：一定会发生的事假。（比如把整个样本空间看做一个随机事件）
2. 不可能事件：空集
3. 基本事件：只包含一个样本点
   例如：公交站现在有多少个人在等车？
   样本空间：S={x : x>=0}
   事件A表示等车人数大于等于0 A={x : x>=0} （必然事件）
   事件A表示等车人数大于等于5 B={x : x>=5} (随机事件）
   事件C表示恰好有三人等车 C={3} （基本事件）
   事件D等车人数多于3且小于3 D={} （不可能事件）

p3 事件的相互关系和运算

关系

1. 包含 $A\subset B$
2. 相等 A=B

运算

1. 和事件 $A\cup B$
2. 积事件 $A\cap B$
3. 逆事件$\overline{A}$
   

p4频率

随机事件A在N次随机实验中发生次数所占的比例，随着N增大趋于稳定。最终稳定到随机事件A发生的概率。

p5概率

讲到概率的的性质和一些简单的计算公式。

p6古典概型（等可能概型）

1. 样本空间的样本点有限（有限性）
2. 每个样本点出现概率相等（等可能性）

p7条件概率的定义

$P(B|A)$ : A发生的情况下B发生的概率
$$P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}$$
后面包含了一些经典例题

p8条件概率

经典例题

p9全概率和贝叶斯公式

划分

样本空间S
第i事件A即为$A_i$
划分满足以下性质：

1. $A_1\cup A_2\cup A_3\cup ....A_n=S$
2. 任意j,k满足$A_j\cap A_k=\varphi$

全概率公式

贝叶斯

p10全概率和贝叶斯公式

例题讲解

p11事件的独立性

$$P(A,B)=P(A)\ast P(B)$$
独立和不相容两个概念，不相同。
独立性考虑的是A,B会不会相互影响
相容考虑的是两个事件有无交集

p12事件的独立性

经典例题

p13随机变量

随机变量实际上是一个函数：一个将样本点映射到实数空间的函数。方便我们描述随机数事件。

p14随机变量

分布

所有随机变量取值及其对应概率

p15离散随机变量的分布

二项分布（0-1分布）

二项分布记为：
$X\sim 0-1(p)$ 发生概率为p
也可记为$X\sim B(1,p)$ 也可表示进行一次伯努利实验，发生的概率为p
$X\sim B(n,p)$表示进行n次伯努利实验，发生的概率为p
例：抛一枚不均匀的硬币，正面向上概率为0.4
用X表示抛9次硬币正面向上的次数：
X服从二项分布$$X\sim B（9，0.4）$$
用X表示抛9次硬币正面向上的次数：
X服从二项分布$$X\sim B（9，0.6）$$
二项分布概率计算方法$P(X=k)=C_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}$

p16离散随机变量的分布

泊松分布

$$X\sim \pi (\lambda )或X\sim P(\lambda )$$
概率计算公式：
$$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

当n>10,p<0.1时泊松分布可看做二项分布的近似。概率计算结果基本一致。

几何分布

几何分布记为：
$$x\sim Geom(p)$$
概率计算公式：
$$P(X=k)=p{(1-p)}^{k-1}$$
典型服从几何分布例子：
我们投掷一枚骰子，6点向上时停止投掷。投掷的次数服从几何分布。

p17分布函数

（可以用来描述连续型和离散型随机变量的分布）
分布函数
$$F(x)=P（X\le x）有时记作：F_X(x)=P（X\le x）$$

p18分布函数

离散型随机变量分布和分布函数互推的例子

p19分布函数

连续性随机变量的分布函数