老逗的gcd 莫比乌斯反演

这个题一看就是莫比乌斯反演，怎么处理无平方因子数呢？由莫比乌斯函数的性质，不难写出：

简单反演得：

那么令

重点在于处理的这个函数的值，用传统筛的话可以加一个小优化就是底数和倍数都只枚举Mob不为0的数

即设Cur数组保存所有Mob不为0的数

有

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Mn=10000005;
LL vst[Mn+5],p[Mn+5],Mob[Mn+5],Cur[Mn+5],f[Mn+5];
void LineShaker(){
	    LL i,j;
	    Mob[1]=1;Cur[++Cur[0]]=1;
	    for(i=2;i<=Mn;i++){
			if(!vst[i]){p[++p[0]]=i;Mob[i]=-1;}
			if(Mob[i])Cur[++Cur[0]]=i;
			for(j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=Mn;j++){
				vst[p[j]*i]=1;
				if(i%p[j]==0){Mob[i*p[j]]=0;break;}
				Mob[i*p[j]]=-Mob[i];
		    }
		}
		for(i=1;i<=Cur[0];i++)
			for(j=1;j<=Cur[0]&&Cur[j]*Cur[i]<=Mn;j++)
				f[Cur[i]*Cur[j]]+=Cur[i]*Mob[Cur[i]]*Mob[Cur[i]]*Mob[Cur[j]];
		for(i=1;i<=Mn;i++)f[i]+=f[i-1];
}
LL Cal(LL x,LL y){
	 LL i,pos,sum=0;
	 if(x>y)swap(x,y);
	 for(i=1;i<=x;i=pos+1){
		 pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
		 sum+=(f[pos]-f[i-1])*(x/i)*(y/i);
	 }
	 return sum;
}
void solve(){
	    LL T,x,y;
	    scanf("%lld",&T);
	    for(;T--;){
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			printf("%lld\n",Cal(x,y));
		}
}
int main(){
	  LineShaker();
	  solve();
      return 0;
}

可以缓慢地AC，但姿势不优，考虑分离质因子效应，由Mob的性质不难发现：

那么用线性筛筛出每个数最小因子的幂，最小因子则可以利用积性求解

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Mn=10000005;
LL f[Mn+5];
int vst[Mn+5],p[Mn+5],Mob[Mn+5],l[Mn+5],Mi[Mn+5];
void LineShaker(){
	    LL i,j;
	    Mob[1]=1;
	    for(i=2;i<=Mn;i++){
			if(!vst[i]){p[++p[0]]=i;Mob[i]=-1;l[i]=i;Mi[i]=i;}
			for(j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=Mn;j++){
				vst[p[j]*i]=1;Mi[p[j]*i]=p[j];
				if(i%p[j]==0){
					Mob[i*p[j]]=0;l[i*p[j]]=l[i]*p[j];
					break;
				}
				Mob[i*p[j]]=-Mob[i];l[i*p[j]]=p[j];
		    }
		}
		f[1]=1;
		for(i=2;i<=Mn;i++){
			if(i==l[i]){
				if(!vst[i])f[i]=i-1;
				else if(i==Mi[i]*Mi[i])f[i]=-Mi[i];
				else f[i]=0;
			}
			f[i]=f[i/l[i]]*f[l[i]];
		}
		for(i=1;i<=Mn;i++)f[i]+=f[i-1];
}
LL Cal(LL x,LL y){
	 LL i,pos,sum=0;
	 if(x>y)swap(x,y);
	 for(i=1;i<=x;i=pos+1){
		 pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
		 sum+=(f[pos]-f[i-1])*(x/i)*(y/i);
	 }
	 return sum;
}
void solve(){
	    LL T,x,y;
	    scanf("%lld",&T);
	    for(;T--;){
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			printf("%lld\n",Cal(x,y));
		}
}
int main(){
	  LineShaker();
	  solve();
      return 0;
}
/*
5 
4 5
6 7
3 6
8 9
986 349
*/

这样理论达到线性预处理，显然已经最优。