矩阵的相似

定义

设A,B都是n阶矩阵，若存在 可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B 相似，记为A~B。

矩阵性质

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对于

 

设 A， B和 C是任意同阶方阵，则有：

（1）0反身性： A~ A

（2）对称性：若 A~ B，则  B~ A

（3）传递性：若 A~  B， B~ C，则 A~ C

（4）若 A~ B，则 r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。

（5）若 A~ B，且 A可逆，则 B也可逆，且 B ~ A。

（6）若 A~ B，则 A与 B

• 两者的 秩相等；
• 两者的 行列式值相等；
• 两者的 迹数相等；
• 两者拥有同样的 特征值，尽管相应的 特征向量一般不同；
• 两者拥有同样的 特征多项式；
• 两者拥有同样的初等因子。

（7）若 A与 对角矩阵相似，则称 A为 可对角化矩阵，若 n阶方阵 A有 n个 线性无关的 特征向量，则称 A为 单纯矩阵。

（8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的 逆矩阵也相似。

定理

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定理1[1] 

n阶矩阵 A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵 A有 n个 线性无关的 特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵 对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出的全部特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次 方程组的 基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

推论1

若 n阶矩阵 A有 n个相异的 特征值，则 A与 对角矩阵相似。

对于 n阶方阵 A，若存在 可逆矩阵 P， 使其为对角阵，则称方阵 A可对角化。

定理2[1] 

n阶矩阵 A可对角化的充要条件是对应于 A的每个 特征值的 线性无关的 特征向量的个数恰好等于该特征值的 重数，即设是矩阵 A的重特征值。

定理3[1] 

对任意一个 n阶矩阵 A，都存在 n阶 可逆矩阵 T使得即任一 n阶矩阵 A都与 n阶约当矩阵J相似。

判断方法

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判断两个矩阵是否相似的辅助方法： [2]  

（1）判断 特征值是否相等；

（2）判断 行列式是否相等；

（3）判断 迹是否相等；

（4）判断 秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。

应用

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（1）利用矩阵对角化计算矩阵多项式； [2]  

（2）利用矩阵 对角化求解 线性微分方程组；

（3）利用矩阵对角化求解 线性方程组。

参考资料