矩阵的相似

定义


设A,B都是n阶矩阵,若存在 可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B 相似,记为A~B。

矩阵性质

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对于
 
ABC是任意同阶方阵,则有:
(1)0反身性: AA
(2)对称性:若 AB,则  BA
(3)传递性:若 ABBC,则 AC
(4)若 AB,则 r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B)。
(5)若 AB,且 A可逆,则 B也可逆,且 B A
(6)若 AB,则 AB
  • 两者的 秩相等;
  • 两者的 行列式值相等;
  • 两者的 迹数相等;
  • 两者拥有同样的 特征值,尽管相应的 特征向量一般不同;
  • 两者拥有同样的 特征多项式;
  • 两者拥有同样的初等因子。
(7)若 A与 对角矩阵相似,则称 A为 可对角化矩阵,若 n阶方阵 An个 线性无关的 特征向量,则称 A为 单纯矩阵。
(8)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的 逆矩阵也相似。

定理

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定理1[1] 
n阶矩阵 A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵 An个 线性无关的 特征向量。
注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵 对角化的方法。
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
(1) 求出的全部特征值;
(2)对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次 方程组的 基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量;
(3)上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
推论1
n阶矩阵 An个相异的 特征值,则 A与 对角矩阵相似。
对于 n阶方阵 A,若存在 可逆矩阵 P, 使其为对角阵,则称方阵 A可对角化。
定理2[1] 
n阶矩阵 A可对角化的充要条件是对应于 A的每个 特征值的 线性无关的 特征向量的个数恰好等于该特征值的 重数,即设是矩阵 A的重特征值。
定理3[1] 
对任意一个 n阶矩阵 A,都存在 n阶 可逆矩阵 T使得即任一 n阶矩阵 A都与 n阶约当矩阵J相似。

判断方法

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判断两个矩阵是否相似的辅助方法: [2]  
(1)判断 特征值是否相等;
(2)判断 行列式是否相等;
(3)判断 迹是否相等;
(4)判断 秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件,而非充分条件。

应用

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(1)利用矩阵对角化计算矩阵多项式; [2]  
(2)利用矩阵 对角化求解 线性微分方程组;
(3)利用矩阵对角化求解 线性方程组。
参考资料

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