姿态的三种描述方式——欧拉角、轴角、四元数

欧拉角

  旋转矩阵对于坐标系的描述是冗余的。旋转矩阵用了9个元素来描述姿态，而事实上，由正交性条件带来6个约束，这9个元素之间不是独立的，而是相关的。这就意味着，只要三个参数就能描述一个刚体在空间中的姿态。
（1）X-Y-Z固定角坐标系
  先将{B}绕{A}的X轴旋转$\gamma$，然后绕{A}的Y轴旋转$\beta$，最后绕{A}的Z轴旋转$\alpha$，每个旋转都是绕着固定参考坐标系{A}的轴。
$${}_B^A{R}_{XYZ}(\gamma ,\beta ,\alpha )=R_Z(\alpha )R_Y(\beta )R_X(\gamma )=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma \\ s\alpha s\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma \\ -s\beta & c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{array}\right]$$
当已知一个旋转矩阵，可以通过以下计算其X-Y-Z固定角坐标系
$${}_B^A{R}_{XYZ}(\gamma ,\beta ,\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{r}\beta =Atan2(-r_{31},\sqrt{r_{11}^2+r_{21}^2})\\ \alpha =Atan2(r_{21}/c\beta ,r_{11}/c\beta )\\ \gamma =Atan2(r_{32}/c\beta ,r_{33}/c\beta )\end{array}$$

如果$\beta =\pm 90^{\circ }$，在这种情况下，仅能求出$\alpha$和$\gamma$的和或差。在这种情况下一般取$\alpha$=0.0，结果如下：当$\beta =90^{\circ }$，解得：

$$\begin{array}{r}\beta =90^{\circ }\\ \alpha =0\\ \gamma =Atan2(r_{12},r_2)\end{array}$$

当$\beta =-90^{\circ }$，解得：

$$\begin{array}{r}\beta =-90^{\circ }\\ \alpha =0\\ \gamma =-Atan2(r_{12},r_2)\end{array}$$
（2）Z-Y-X欧拉角
假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕自身的Z轴旋转$\alpha$，然后绕Y轴旋转$\beta$，最后绕X轴旋转$\gamma$，就能旋转到当前姿态。称其为Z-Y-X欧拉角，由于是绕自身坐标轴进行旋转，则旋转矩阵为：
$${}_B^A{R}_{Z\prime Y\prime X\prime }(\gamma ,\beta ,\alpha )=R_Z(\alpha )R_Y(\beta )R_X(\gamma )=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma \\ s\alpha s\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma \\ -s\beta & c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{array}\right]$$
由旋转矩阵得出Z-Y-X欧拉角的方法与上述X-Y-Z固定角坐标系计算过程相同，在此不再推导。

轴角

  绕空间中某一轴旋转指定角度，可以采用4个参数进行表示。令r为关于参考坐标系O-xyz的旋转轴的单位向量。为了表示绕轴r旋转角度$\theta$的旋转矩阵$R(\theta ,r)$，方便的做法是对绕参考坐标系的坐标轴的基本旋转进行合成。
  于是发现相应于给定角度和轴的旋转矩阵为：
$$R(\theta ,r)=\left[\begin{array}{ccc}r{}_x^2(1-c\theta )+c\theta & r_x{r}_y(1-c\theta )-r_{z}s\theta & r_x{r}_z(1-c\theta )+r_{y}s\theta \\ r_x{r}_y(1-c\theta )+r_{z}s\theta & r{}_y^2(1-c\theta )+c\theta & r_y{r}_z(1-c\theta )-r_{x}s\theta \\ r_x{r}_z(1-c\theta )-r_{y}s\theta & r_y{r}_z(1-c\theta )+r_{x}s\theta & r{}_z^2(1-c\theta )+c\theta \end{array}\right]$$
  如果需要计算逆解以计算相应于如下给定旋转矩阵的轴和角度：
$$R=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{r}\theta =arccos(\frac{r_{11}+r_{22}+r_{33}-1}{2})\\ r=\frac{1}{2sin\theta }\left[\begin{array}{c}{r}_{32}-r_{23}\\ r_{13}-r_{31}\\ r_{21}-r_{12}\end{array}\right]\end{array}$$
注意：当$\theta =0或pi$单位向量任意是奇异的。

四元数

  轴角的表达式的不足可以通过一个不同的四参数表达式加以克服，即单位四元数，定义为：Q=｛$\eta$，$\epsilon$｝，其中：
$$\begin{array}{r}\epsilon =cos\frac{\theta }{2}\\ \epsilon =sin\frac{\theta }{2}r\end{array}$$

$$\begin{array}{r}{\eta }^2+\epsilon {}_x^2+\epsilon {}_y^2+\epsilon {}_z^2=1\end{array}$$

  相应于给定四元数的旋转矩阵有以下形式：
$$R(\theta ,r)=\left[\begin{array}{ccc}2({\eta }^2+\epsilon {}_x^2)-1& 2({\epsilon }_x{\epsilon }_y-\eta {\epsilon }_z)& 2({\epsilon }_x{\epsilon }_z+\eta {\epsilon }_y)\\ 2({\epsilon }_x{\epsilon }_y+\eta {\epsilon }_z)& 2({\eta }^2+\epsilon {}_y^2)-1& 2({\epsilon }_y{\epsilon }_z-\eta {\epsilon }_x)\\ 2({\epsilon }_x{\epsilon }_z-\eta {\epsilon }_y)& 2({\epsilon }_y{\epsilon }_x)& 2({\eta }^2+\epsilon {}_z^2)-1\end{array}\right]$$

  如果需要计算逆解以计算相应于如下给定旋转矩阵的四元数：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{r}\epsilon =\frac{1}{2}\sqrt{r_{11}+r_{22}+r_{33}+1}\end{array}$$

$$\epsilon =\left[\begin{array}{c}sgn(r_{32}-r_{23})\sqrt{r_{11}-r_{22}-r_{33}+1}\\ sgn(r_{13}-r_{31})\sqrt{r_{22}-r_{33}-r_{11}+1}\\ sgn(r_{21}-r_{12})\sqrt{r_{33}-r_{11}-r_{22}+1}\end{array}\right]$$

  其中，当$x\ge 0$时sgn(x)=1；当x<0时，sgn(x)=-1；与轴角逆解相比，没有奇点现象。