图论基础

最近的图卷积网络（GCN）开始受到越来越多的关注，而图卷积网络是由图神经网络（GNN）发展而来，而 GNN 又是由建立在图论的基础之上。

图是一种非常神奇的数据结构，非常直观的表示了结构化数据之间的关系，从社交关系，通行网络，道路交通，城市布局几乎都可以用图这种数据结构来表示。

图是由顶点 （vertex） 和 边 （edge）构成的一种数据结构，顶点和顶点之间就是靠边连接起来的，顶点和边一起构成了一张图，如下图所示：

上面的图中，圆圈表示顶点，上面一共有 7 个顶点，分别标号为 1,2,3,4,5,6,7，而连接两个顶点的线条就是图的边，比如 (1,2), (2,3), (2, 4) 等等。

如果这些连接顶点的边没有方向，这种图称为无向图，如果有方向，则称为有向图。上面的图称为无向图，下面这个图就称为有向图：

虽然图的描述非常直观，但是最后还是要用数学语言来进行建模，而对图来说，最方便的数学描述就是矩阵。描述图有两种常用的矩阵，一个是 adjacency 矩阵，一个是 incidence 矩阵。
adjacency 矩阵探讨的是顶点和顶点之间的连接关系，如果两个顶点通过一条边连接在一起，那么可以说这两个顶点就是 adjacent
incidence 矩阵探讨的是边与边之间的连接关系，如果两条边共享一个顶点，那么可以说这两条边是 incident

我们先来看看 adjacency 矩阵，如下所示：

上面的图有 5 个顶点，构成了如下的几种连接关系：(1, 2)，(2, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)
如果我们把矩阵的每一行看做一个顶点，矩阵的每一列也看成一个顶点，那么连接关系就对应着矩阵的行，列下标，比如 (1, 2) 相连，所以矩阵的第一行第二列为 1，所以 $A(1,2)=1$， 同理 $A(2,3)=1,A(2,4)=1,A(3,5)=1$，又因为这些连接是无向的，所以 $A(2,1)=1$, $A(3,2)=1$，以此类推，所以我们知道，adjacency 矩阵，其实是一个对称矩阵，而且矩阵 $A$ 是存在正交特征向量的，这些特征值，也被称为图的 “谱”，因此图论也常常叫做图谱理论。

下面来看看，incidence 矩阵，如下所示：

上面的图，有 4 个顶点，4 条边，如果我们把矩阵的行看做图的顶点，而矩阵的列表示图的边，那么每一列，其实表示了这条边上连接的顶点，而每一行，表示连接了这个顶点的边。我们看第一行，顶点 1 有三条边连接，即 $e_1,e_2,e_3$，所以矩阵 $B$ 的 第一行有三个 1，即 $B(1,1),B(1,2),B(1,3)$ 都为 1，我们再来看第一列，表示的 $e_1$ 这条边，$e_1$ 连接了 1 和 4 两个顶点，所以 $B(1,1)$ 和 $B(4,1)$ 都为 1，incidence 矩阵是一个 $n\times m$ 的矩阵，其中行数表示顶点数 $n$，列数表示边的数量 $m$

讨论完 adjacency 矩阵和 incidence 矩阵，接下来我们讨论图的 degree，简单来说，图的 degree 表示图上每个顶点的邻接顶点个数，

如上图所示，一共有 5 个顶点，顶点 1 有 3 个邻接顶点，所以 顶点 1 的degree 为 3；以此类推，顶点 2,3 的 degree 都是 2； 4 的degree 为 1； 5 是孤立点，没有邻接点，所以 5 的 degree 是 0

如果我们看上图的 adjacency 矩阵或者 incidence 矩阵，就会发现，这两个矩阵的行和，刚好表示图的 degree，所以一般来说，图的 degree 可以表示成一个对角矩阵，对角线上的值，等于 adjacency 矩阵或者 incidence 矩阵的行和。