P5176 公约数 [莫比乌斯反演][线性筛积性函数]

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来自zxy学长, 强烈推荐哦 

 

 

 

 

 

关于最后一个的证明:

首先p为n的最小质因子, 那么np一定含有p因子的平方项, 如果保留的话对mu是没有贡献的

也就是说对f(n)有贡献的d, 只有d*p对 f(n*p)有贡献

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关于线性筛函数, 考虑

等于1

为质数  ->  代入两个端点

不包含最小质因子  ->  积性函数的性质

包含最小质因子  ->  讨论mu的贡献...

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#include
#define N 20000050
#define Mod 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int prim[N], tot;
bool isp[N]; LL g[N];
int T;
void prework(){
	g[1] = 1;
	for(int i=2;i<=N-50;i++){
		if(!isp[i]) prim[++tot] = i, g[i] = (LL)i * (LL)i % Mod - 1;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(prim[j] * i > N - 50) break;
			isp[prim[j] * i] = 1;
			if(i % prim[j] == 0){
				g[i * prim[j]] = g[i] * (LL)prim[j] % Mod * (LL)prim[j] % Mod;
				break;
			}
			g[i * prim[j]] = g[i] * g[prim[j]] % Mod;
		}
	}
	for(int i=2;i<=N-50;i++) g[i] = (g[i] + g[i-1]) % Mod;
}
LL Solve(int n,int m){
	if(n>m) swap(n,m);
	LL ans = 0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		int v1 = n/l, v2 = m/l;
		r = min(n/v1, m/v2);
		ans += (LL)v1 * (LL)v2 % Mod * (g[r] - g[l-1]) % Mod;
		ans = (ans % Mod + Mod) % Mod;
	} return ans;
}
int main(){
	prework(); scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n,m,p; scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
		LL ans = (LL)p * Solve(n,m) % Mod;
		ans = (ans + ((LL)n * Solve(m,p)) % Mod) % Mod;
		ans = (ans + ((LL)m * Solve(n,p)) % Mod) % Mod;
		printf("%lld\n",ans);
	} return 0;
}