欧拉函数

本文介绍的是小于或等于 n的正整数中与 n 互质的数的数目。关于形式为

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

的函数，详见「欧拉函数(复变函数)」。

当 n为1至1000的整数时

\varphi(n)

的值

在数论中，对正整数n，欧拉函数 $\varphi(n)$ 是小于或等于n的正整数中与n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数^[1]（totient function，由西尔维斯特所命名）。

例如 $\varphi(8)=4$ ，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

历史：欧拉函数与费马小定理编辑

1736年，欧拉证明了费马小定理^[2]：

假若

p

为质数，

a

为任意正整数，那么

a^p - a

可被

p

整除。

然后欧拉予以一般化：

假若 $a$ 与 $n$ 互质，那么 $a^{\phi(n)} - 1$ 可被 $n$ 整除。亦即， $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$ 。

其中 $\phi(n)$ 即为欧拉总计函数。如果 $n$ 为质数，那么 $\phi(n) = n - 1$ ，因此，有高斯的版本^[3]：

假若 $p$ 为质数， $a$ 与 $p$ 互质（ $a$ 不是 $p$ 的倍数），那么 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 。

欧拉函数的值编辑

$\varphi(1)=1$ （小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。

若n是质数p的k次幂， $\varphi(n)=\varphi(p^k)=p^kp^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$ ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数，即是说若m , n互质， $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ 。证明：设A , B , C是跟m , n , mn互质的数的集，据中国剩余定理， $A \times B$ 和 $C$ 可建立双射 (一一对应)的关系。（或者也可以从初等代数角度给出欧拉函数积性的简单证明）因此 $\varphi(n)$ 的值使用算术基本定理便知，

若

n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}

则

\varphi(n) = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

。

其中 $\alpha_p$ 是使得 $p^{\alpha}$ 整除 $n$ 的最大整数 $\alpha$ （这里 $\alpha_{p_i} = k_i$ ）。

例如 $\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)=2^2\times1\ times3\times2=24$

性质编辑

n的欧拉函数 $\varphi(n)$ 也是循环群 C _n的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C _n中每个元素都能生成C _n的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外，C _n的所有子群都具有C _d的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将C _d的生成元个数相加，就将得到C _n的元素总个数：n。也就是说：

\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于 $\varphi(n)$ 的公式：

\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu(n/d)

其中μ是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a , m（即gcd( a , m ) = 1）， $m\ge2$ ，有

a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的单位元组成的乘法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\times}$

当m是质数p时，此式则为：

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

即费马小定理。

生成函数编辑

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质： $\sum_{d|n} \varphi(d) = n$ 。

由 $\varphi$ ( n )生成的狄利克雷级数是：

\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.

其中ζ( s )是黎曼ζ函数。推导过程如下：

\zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s} = \left(\sum_{g=1}^\infty \frac{1}{g ^s}\right)\left(\sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s}\right)

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} 1 \cdot \varphi(g)\right) \frac {1}{h^s}

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} \varphi(g)\right) \frac{1} {h^s} = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s}

使用开始时的等式，就得到：

\sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \ frac{h}{h^s}

于是

\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s} = \zeta(s-1)

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

\sum_{n=1}^{\in​​fty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}

其对于满足| q |<1的q 收敛。

推导如下：

\sum_{n=1}^{\in​​fty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^{\in​​fty} \varphi(n) \ sum_{r\ge 1} q^{rn}

后者等价于：

\sum_{k\ge 1} q^k \sum_{n|k} \varphi(n) = \sum_{k\ge 1} kq^k = \frac{q}{(1-q)^2} .

欧拉函数的走势编辑

随着n变大，估计 $\varphi(n)$ 的值是一件很难的事。当n为质数时， $\varphi(n)=n-1$ ，但有时 $\varphi(n)$ 又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个ε > 0，都有 n > N (ε)使得

\,n^{1-\varepsilon}<\varphi(n)<n

如果考虑比值：

\,\varphi(n)/n,

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似 $1-p^{-1}$ 的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数ε可以被替换为：

C\,\log \log n/ \log n.

$\varphi$ 就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \varphi(k)= \frac{3}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n }中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 $6/\pi^2$ 。一个相关的结果是比值 $\varphi(n)/n$ 的平均值：

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k} = \frac{6}{\pi^2} + \mathcal{O}\left( \frac{\log n }{n}\right).

其他与欧拉函数有关的等式编辑

$\;\varphi\left(n^m\right) = n^{m-1}\varphi(n)$
$\forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N$ 使得 $[(a >1 \and n > 1)\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq n) ]$
$\forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N$ 使得 $[(a >1 \and n > 6 \and 4 \not| n )\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq 2n) ]$
$\sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)} = \frac{n}{\varphi(n)}$
$\sum_{1\le k\le n \atop (k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)\text{ for }n>1$
$\sum_{k=1}^n\varphi(k) = \frac{1}{2}\left(1+ \sum_{k=1}^n \mu(k)\left\lfloor\frac{n }{k}\right\rfloor^2\right)$
$\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{ n}{k}\right\rfloor$
$\sum_{k=1}^n\frac{k}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(n)$
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(\log(n))$

与欧拉函数有关的不等式编辑

$\varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}$ ，其中n > 2，γ为欧拉-马歇罗尼常数。
$\varphi(n) \ge \sqrt{\frac {n} {2} }$ ，其中n > 0。
对整数n > 6， $\varphi(n) \ge \sqrt{n}$ 。
当n为质数时，显然有 $\varphi(n) = n-1$ 。对于合数的n，则有：

\varphi(n) \le n-\sqrt{n}

参考来源编辑

Milton Abramowitz、Irene A. Stegun，Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4 . 24.3.2节.

Eric Bach、Jeffrey Shallit，Algorithmic Number Theory ,卷1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , 8.8节，234页.

Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.

柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001

文献来源编辑

^ Where does the word “totient” come from?
^ Mathematical Thought From Ancient to Modern Times,第2卷，p.608
^ Mathematical Thought From Ancient to Modern Times,第3卷，p.814

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