[群论] 置换群快速整数幂

引言： 这几天遇到了几个有关群论的题

1.牛客第二场多校训练里的J.Just Shuffle
2.ICPC NEAU Programming Contest 2020里的E.随便置换
3. 以及以前遇到的Permutations POJ - 2369
考虑到相同类型的题出现频率比较多，于是花了两天时间才摸索出点眉目。

定义：

群：设G为一个元素的集合，称G内的元素为元，*为针对G这个集合的元素的运算，当满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元要求的时候，我们称为群。
在此提一下群的乘积。
假如：$a=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\end{array}\right)$ $b=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ b_1& b_2& b_3& \cdots & b_n\end{array}\right)$

$a\ast b=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ b_1& b_2& b_3& \cdots & b_n\end{array}\right)$

在此易知：c = a * b表示$c_i=b_{a_i}$

封闭性：G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内
交换律：a∗(b∗c) = (a∗b)∗c
单位元：任何a∗e=a
逆元：$a\ast a^{-1}=e，a^{-1}称为a的逆元$

置换：有限集合到自身的一一映射称为一个置换。
置换群是由置换组成的群。即n元集合Ω到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个n元置换或n阶置换。Ω上的置换 可表为

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_{i_1}& a_{i_2}& a_{i_3}& \cdots & a_{i_n}\end{array}\right)$$

简记为

$$\sigma =\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ a_{i_k}\end{array}\right)$$
其中 $i_1,i_2,i_3\cdots i_n$ 是 $1,2,3\cdots n$ 的一个排列, $a_{i_k}$ 是 $a_k$ 在置换 $\sigma$ 下的像。由全排列知识可知，这样的置换共有 n! 个。

置换群的一些结论

首先摘录出置换群快速幂学习公认的鼻祖——置换群快速幂运算—潘震皓

05年一个高中生写的，总结到位，逻辑清晰，让我自愧不如。保送清华无可厚非。

这篇论文里有许多证明，在此我不赘述，我只总结一下里面部分重要结论。

1.设 $T^k=e$，(T为一置换，e为单位置换)，那么k的最小正整数解是T的拆分的所有循环长度的最小公倍数。
2.一个长度为L的循环T，$T^k$是gcd(k,L)个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标 i % gcd(l,k)=0,1,2…的元素连接。
3. 循环长度与指数互质时的整幂运算：设a = T，a’=$T^k$，且gcd(L,k)=1
则 a’[ i ]=a[(k+1)*i%L] （下标范围0≤i≤l-1）

对于第三个结论特别提一下推理过程：

以 L=10，k=3 为例子


由上图可知如果已知T，那么$T^k$就是先在T中确定一点，然后不断前进k格得出答案。