n!的素数分解

今天在知乎上看到一个问题，和n!的素数分解有关。发现初等数论里有关于n!的素数分解的结论。这个问题可以分为两个部分，第一部分是求出所有不超过n的素数，然后把这些素数存在一个数组里。第二部分是求出素数对应的幂，然后把这些幂存在另一个数组里。第二部分是很容易的，困难主要是在第一部分。

在第一部分中，问题也可以分为求出素数和存储素数这两个过程。判断一个数是否为素数的算法有两种，第一种是判断这个数能否被2到n/2的某个数整除，如果不能，则为素数。第二种是判断n是否能被某个不超过根号n的素数整除，如果不能，则为素数。从算法的复杂度来看，显然第二个看起来更好。对于存储素数这个过程，有动态数组和STL容器这两种方案。

至于编程语言，我打算用C++和matlab实现。

1、

下面是第一种C++实现。判断是否为素数的算法用的是第一种，存储用的是动态数组。

#include 
using namespace std;


int main()
{
    int n;
    cout << "Enter the number: ";
    cin >> n;  //输入n
    if(n<2)
    {
        cout << "error" << endl;
        return 0;
    }
    int *prime = new int[n]; //用于存储所有不超过n的素数
    for(int i=0; i

 

 

 

输出截图如下：

每行的第一个数字是素因子，第二个数字是对应的幂。

2、下面是第二种C++实现。判断是否为素数的算法用的是第二种，存储用的是STL容器。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cout << "Enter the number: ";
    cin >> n;  //输入n
    if(n<2)
    {
        cout << "error" << endl;
        return 0;
    }
    vector prime; //用于存储所有不超过n的素数
    int p = 2;
    int count = 0;
    bool isPrime;
    while(p<=n)
    {
        isPrime = true;
        vector::iterator p1;
        for(p1=prime.begin(); p1!=prime.end()&&*p1<=sqrt(p);p1++)
        {
            if(p % *p1 == 0)
            {
                isPrime = false;
                break;
            }
        }
        if(isPrime)
        {
            prime.push_back(p);
            count++;
        }
        p++;
    }

    int *countPrime = new int[count]; //用于存储素数的幂
    for(int i=0; i

输出截图如下：