第一章 行列式 第七节 克拉默法则
§1.7 克拉默法则
含有 n n n个未知数 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} x1,x2,⋯,xn的 n n n个线性的线性方程组
(1) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n . \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=b_{2},\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n} &=b_{n}. \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn ⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=b1,=b2,=bn.(1)
克拉默法则：
如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即
D = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋯ a n 1 ⋯ a n n ∣ ≠ 0 , D = \left| \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ &\cdots&\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right| \neq 0, D=∣∣∣∣∣∣a11an1⋯⋯⋯a1nann∣∣∣∣∣∤=0,
那么，方程组(1)有唯一解
x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , ⋯ , x n = D n D , x_{1}=\frac{D_{1}}{D},\ \ x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\ \ \cdots,\ \ x_{n}=\frac{D_{n}}{D}, x1=DD1, x2=DD2, ⋯, xn=DDn,
其中 D j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) D_{j}(j=1,2,\cdots,n) Dj(j=1,2,⋯,n)是把系数行列式 D D D中第 j j j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的 n n n阶行列式，即
D j = ∣ a 11 ⋯ a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 b n a n , j + 1 ⋯ a n n ∣ . D_{j} = \left| \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ &&\vdots&\vdots&\vdots&\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right| . Dj=∣∣∣∣∣∣∣a11an1⋯⋯a1,j−1⋮an,j−1b1⋮bna1,j+1⋮an,j+1⋯⋯a1nann∣∣∣∣∣∣∣.
定理1：
如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0 , D\neq0, D̸=0,则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理2：
如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必定为零。
线性方程组(1)右端的常数项 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_{1},b_{2},\cdots,b_{n} b1,b2,⋯,bn不全为零时，线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组，当 b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_{1},b_{2},\cdots,b_{n} b1,b2,⋯,bn全为零时，线性方程组(1)叫做齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组
(2) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = 0. \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &=0,\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=0,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n} &=0. \end{cases} \tag{2} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn ⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0,=0,=0.(2)
x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0 x1=x2=⋯=xn=0一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解。如果有一组不全为零的数是(2)的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解。
定理3：
如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ≠ 0 , D\neq0, D̸=0,则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4：
如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
《线性代数》同济大学第五版笔记