正规矩阵的谱半径等于谱范数

这里有三个定义：正规矩阵、谱半径、谱范数

正规矩阵

有一类矩阵 $A$，如：对角矩阵、实对称矩阵（$A^{\top }=A$）、实反对称矩阵（$A^{\top }=-A$）、厄米特矩阵（$A^H=A$）、反厄米特矩阵（$A^H=-A$）、正交矩阵（$A^{T}A=A{A}^T=I$）以及酉矩阵（$A^{H}A=A{A}^H=I$）等，都有一个共同的性质：
$$A{A}^H=A{A}^H$$为了能够用统一的方法研究他们的相似标准型，我们引入正规矩阵的概念。
设 $A\in C^{n\times n}$，且 $A{A}^H=A^{H}A$，则称 $A$ 为正规矩阵。

• 当正规矩阵的全部特征值为实数时，是厄米特矩阵；
• 当正规矩阵的全部特征值为零或虚数时，是反厄米特矩阵；
• 当正规矩阵的全部特征值的模为1时，是酉矩阵。

上面提到的几个特殊矩阵都是正规矩阵，但正规矩阵并不限于以上几种。

谱半径

A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)

谱范数

注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即 $A^{H}A$ 最大特征值的算术平方根。

谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。

证明

命题：A是正规阵，必然存在酉阵Q满足：$Q^{\prime }\ast A\ast Q=D$，D为对角阵且每个对角元zhi为A的特征值。

1. A的二范数 <=> A的最大奇异值 <=> max(sqrt(eig(A’ * A))) <=> max(sqrt(eig(D’ * D))) <=> D的模最大对角元 <=> A的谱半径，证毕！
2. 记D = diag{λ1, λ2, …, λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn|，则|λ1|为A的谱半径。
   2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1，必然有：||Ax1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
   2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量，即：||y1||₂= 1且||A||₂= ||Ay1||₂。y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1，且z1也为单位向量。不难得出：||A||₂= ||Ay1||₂= ||AQz1||₂= ||Dz1||₂≤ |λ1|
   综合2.1和2.2可得：||A||₂= |λ1|，证毕！

参考资料

1. https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E7%9F%A9%E9%98%B5/5982147
2. https://zhidao.baidu.com/question/505550281.html
3. https://www.zhihu.com/question/40181430/answer/85446211
4. http://blog.sina.com.cn/s/blog_6edc8c0d0102wdl9.html