泛函分析 01.05 距离空间-完备性

§1.4完备的距离空间 

1.4.1Cauchy列 

在全体有理数组成的距离空间中,Cauchy列不一定收敛. 
在全体实数组成的距离空间中,Cauchy列一定收敛. 
Cauchy列一定收敛,反映了实数空间的完备性. 
我们将把这个性质“类比”地推广到一般的距离空间. 
一个点列{x n }是否收敛,除了点列自身的构造性质以外, 
和空间的结构有很大关系. 

例1.4.1设X=(0,1]赋以实数空间通常的距离.{1n }是X=(0,1]中的 
Cauchy列,但是它在X=(0,1]中不收敛,因为0∈ ¯ ¯  X. 
注：上例表明,空间中的Cauchy列可能不收敛. 
问题在于这个空间存在“缺陷”，或者说距离空间中有一些“缝隙”. 
在例1.4.1中，问题产生于空间X=(0,1]“缺陷”0点. 
如果我们加上这个点,则{1n }收敛. 
可以证明,在新的“更大的”空间X 1 =(0,1]∪{0}中每个Cauchy列都收敛. 
在实数空间,点列收敛的充要条件是:这个点列是Cauchy列. 
类似于实数空间,在距离空间,我们也引进Cauchy列、完备性这些概念. 

定义1.4.2设(X,d)是一个距离空间,{x n } ∞ n=1 ⊂(X,d). 
若对于任意的ε>0,存在正整数N,当m,n≥N时,有 
d(x n ,x m )<ε(1.4.1) 
称{x n }是一个Cauchy列. 

命题1.4.3设{x n }是距离空间(X,d)中的Cauchy列,则集合 
{x 1 ,x 2 ,⋯}是有界的. 
根据Cauchy列的定义证明,和数学分析的证明相似. 
证明:由Cauchy列的定义, 
对于ε=1,存在N,当n,m>N时,有d(x n ,x m )<1.令 
β=max{d(x 1 ,x 2 ),d(x 1 ,x 3 ),⋯,d(x 1 ,x N+1 )}, 
结合三角不等式,对于任何的正整数n, 
d(x 1 ,x n )<β+1 
即:集合{x 1 ,x 2 ,⋯}⊂B(x 1 ,β+1), 
根据有界集的定义,命题成立. 

命题1.4.4收敛的点列一定是Cauchy列. 
分析:用收敛列和Cauchy的定义证明,与数学分析的证明相似. 
证明:设lim n→∞ x n =x 0 ,则对于∀ε>0,∃N,当n,m>N时,有 
d(x n ,x 0 )<ε2 ,d(x m ,x 0 )<ε2  
根据距离的三角不等式,有 
d(x n ,x m )≤d(x n ,x 0 )+d(x m ,x 0 )<ε,(n,m>N) 
因此{x n }是一个Cauchy列. 

1.4.2完备的距离空间 

收敛的点列一定是Cauchy列, 
但是在一般的距离空间中,Cauchy列不一定收敛. 
具有“所有Cauchy列都收敛”这一性质的距离空间是非常重要的距离空间, 
这就是完备空间: 

定义1.4.5若距离空间(X,d)中的任意Cauchy列都收敛, 
则称距离空间X是完备的. 
注：完备性是十分重要的，有了完备性，极限运算(微积分)才能很好的进行. 
在一个完备的距离空间,要判断点列是否收敛,仅需判断它是否是Cauchy列. 

例1.4.6设Q为全体有理数组成的集合,赋以通常的距离 
成为一个距离空间,但是它不完备. 
例如:以π的前n位数字组成的数列{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,⋯} 
是一个Cauchy列,但是它在Q中不收敛,因为π不是有理数. 
注:由Cauchy列的定义,我们看到: 
一点列是否为Cauchy列由这个点列自身的结构决定,但它是否收敛 
却取决于点列以外的信息,即空间是否完备. 
在例1.4.6中,由于无理数的“缺失”，点列不收敛. 

命题1.4.7完备空间的任意一个闭子空间也是完备的. 
证明：设X是完备的，子空间X 1 ⊂X,且X 1 是闭的. 
要证明X 1 是完备的.根据完备空间的定义,只需证明X 1 中 
的任意Cauchy列都在X 1 中收敛. 
设{x n } ∞ n=1 ⊂X 1 ,是任意一个Cauchy列. 
由于X是完备的,因而{x n }收敛到x,x∈X. 
由X 1 闭,根据定理，X 1 中收敛点列的极限x属于X 1 ，所以X 1 是完备的. 

定理1.4.8列紧的空间一定是完备的. 
分析:设{x n }是列紧空间X中的任一Cauchy列, 
我们要证明该Cauchy列收敛. 
由空间的列紧性,首先找到它的一个收敛的子列,再结合它本身是Cauchy列, 
证明这个Cauchy列在空间中收敛. 
证明：设{x n }是列紧空间X中的任一Cauchy列, 
由Cauchy列的定义,∀ε>0,∃N,当n,m>N时, 
d(x n ,x m )<ε 
由X是列紧的,可知存在{x n }的收敛子列{x n k  }及x 0 ∈X, 
x n k  →x 0 (k→∞) 
(下面证明x 0 也是x n 在空间X中的极限) 
令K=N,当k>K时,有n k ≥k>K=N,于是 
d(x n ,x n k  )<ε(n>N) 
令k→∞,由于d连续,我们有 
d(x n ,x 0 )≤ε(n>N), 
即x n →x 0 ,x 0 ∈X,这证明了X完备, 
注：从证明中看出,一个Cauchy列{x n },只要它有一个子列收敛到x 0 , 
则x n →x 0 (n→∞) 

命题1.4.9设X是一个距离空间，{x n }是X中的Cauchy列,如果 
{x n }有一个子列{x n k  }收敛到x 0 ,则{x n }也收敛到x 0 (n→∞) 

1.4.3完备与不完备距离空间的例 

例1.4.10距离空间R n 是完备的. 

例1.4.11C[a,b]是完备的. 
分析:设{x n } ∞ n=1 是C[a,b]中的任一Cauchy列. 
要做到以下三点: 
(1)找出x(t)(即{x n }的极限); 
(2)证明x(t)∈C[a,b]; 
(3)证明x n (t)→x(t)(n→∞)(按C[a,b]空间中的距离收敛) 
证明(i)由{x n (t)}是C[a,b]中的Cauchy列,可知 
对于∀ε>0,∃N,当n,m≥N时, 
d(x n ,x m )<ε 
即:max a≤t≤b |x n (t)−x m (t)|<ε 
所以∀t∈[a,b],|x n (t)−x m (t)|<ε(n,m≥N) 
即{x n (t)}是R中的一个Cauchy数列, 
由于R的完备性,所以存在x(t),使得x n (t)→x(t)(n→∞). 
(ii)下面证明x(t)∈C[a,b] 
当n,m≥N时, 
|x n (t)−x m (t)|<ε,∀t∈[a,b](1.4.2) 
对于固定的t,令m→∞,有 
|x n (t)−x(t)|≤ε(n≥N),∀t∈[a,b](1.4.3) 
即x n (t)一致收敛到x(t),∴x(t)连续,即x(t)∈C[a,b]. 
(iii)且n≥N时 
|x n (t)−x(t)|≤ε,∀t∈[a,b], 
所以max a≤t≤b |x n (t)−x(t)|≤ε, 
即d(x n ,x)≤ε,(n≥N),所以lim n→∞ x n =x. 

例1.4.12l ∞ 是完备的. 
分析:设{x n }是l ∞ 中的任一个Cauchy列, 
其中x n ={ξ (n) k } ∞ k=1 .只需证明三点: 
(1)找出x(即({x n }的极限); 
(2)x∈l ∞ ; 
(3)x n →x(n→∞)(按l ∞ 空间中的距离收敛) 
证明:设{x n }是l ∞ 中的任意一个Cauchy列, 
其中x n ={ξ (n) k } ∞ k=1 . 
由Cauchy列的定义,∀ε>0,∃N,当n,m≥N时, 
d(x n ,x m )<ε 
即sup k |ξ (n) k −ξ (m) k |<ε 
对任意的k,|ξ (n) k −ξ (m) k |<ε(n,m≥N). 
即{ξ (n) k } ∞ k=1 是R中的Cauchy列. 
由R的完备性,存在ξ k ,使得lim n→∞ ξ (n) k =ξ k . 
令x={ξ k },下面验证x∈l ∞ 及x n →x(n→∞) 
(按l ∞ 距离收敛). 
由于n,m≥N时,|ξ (n) k −ξ (m) k |<ε,令m→∞,有 
|ξ (n) k −ξ k |≤ε(n≥N)(1.4.4) 
由(1.4.4)式知,对∀k, 
|ξ k |≤|ξ (N) k −ξ k |+|ξ (N) k |≤ε+|ξ (N) k | 
由于x N ={ξ (N) 1 ,ξ (N) 2 ,⋯,ξ (N) k ,⋯}有界, 
所以{ξ k }是有界数列,{ξ k }∈l ∞ ,且n≥N时, 
对∀k,有 
|ξ (n) k −ξ k |≤ε, 
即 
d(x n ,x)=sup k |ξ (n) k −ξ k |≤ε(n≥N), 
所以x n →x={ξ k }.故l ∞ 完备. 

例1.4.13在距离空间C[0,T]中,P[0,T]记定义在[0,T]上的全体多项式.显然 
P[0,T]⫋C[0,T],且P[0,T]是C[0,T]一个子空间. 
距离空间C[0,T]是完备的,但是P[0,T]在C[0,T]中不完备. 
事实上,{1,1+t,1+t+12! t 2 ,1+t+12! t 2 +13! t 3 ,⋯} 
在C[0,T]中收敛到e t (一致收敛,因为区间是有限的), 
但e t ∈ ¯ ¯  P[0,T],即P[0,T]不是C[0,T]中的闭集. 
由定理1.4.4,知 
{1,1+t,1+t+12! t 2 ,1+t+12! t 2 +13! t 3 ,⋯} 
是一个Cauchy列,但是它的极限不在子空间P[0,T]中,所以P[0,T]在距离 
d(p 1 ,p 2 )=max 0≤t≤T |p 1 (t)−p 2 (t)| 
下不完备(其中p 1 (t),p 2 (t)∈P[0,T]) 

例1.4.14设X是全体在[0,1]上定义