欧几里得算法及其扩展欧几里得算法——数论

欧几里得算法（gcd）：

  又名辗转相除法，是求最大公约数的算法。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。两个数的最大公约数通常写成 gcd(a, b)。
例如，计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下：
  从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商q0 = 2），余数是147： 1071 = 2 × 462 + 147. 然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即q1 = 3），余数是21： 462 = 3 × 147 + 21. 再从147中不断减去21直到小于21（可以减7次，即q2 = 7），没有余数： 147 = 7 × 21 + 0. 此时，余数是0，所以1071和462的最大公约数是21。
由此可以得到算法：

递归：

int gcd (int n, int m)
{
        if (m == 0)
           return n;
        else
           return gcd(m, n % m);
}

迭代：

int gcd(int m,int n)
{
        int t = 1;
        while(t != 0) {
            t = m % n;
            m = n;
            n = t;
        }
        return m;
}

扩展的欧几里得算法（exgcd）：

  是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式 ax+by=gcd(a,b)
例子过程展示：
用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x + 30y = 1的整数解。

• 47 = 30 * 1 + 17
• 30 = 17 * 1 + 13
• 17 = 13 * 1 + 4
• 13 = 4 * 3 + 1

然后，把它们改写成“余数等于”的形式。

• 17 = 47 * 1 + 30 * (-1)    //式1
• 13 = 30 * 1 + 17 * (-1)    //式2
• 4 = 17 * 1 + 13 * (-1)     //式3
• 1 = 13 * 1 + 4 * (-3)

然后，倒着计算并带入式子 1， 2， 3：

• 1 = 13 * 1 + 4 * (-3)
• 1 = 13 * 1 + 【17 * 1 + 13 * (-1)】 (-3)*     //带入式 3
• 1 = 17 * (-3) + 13 * 4
• 1 = 17 * (-3) + 【30 * 1 + 17 * (-1)】 * 4   // 带入式 2
• 1 = 30 * 4 + 17 * (-7)
• 1 = 30 * 4 + 【47 * 1 + 30 * (-1)】 * (-7)   //带入式 1
• 1 = 47 * (-7) + 30 * 11

得解 x = -7，y = 11。

代码实现：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return r;
}