基础数论-扩展欧几里得算法
首先我们先了解欧几里得算法
求俩个数a,b的最大公约数gcd(a,b)
根据贝祖定理得，gcd(a,b)=gcd(b,a-b),(a>b) 直到b为0时，a就是答案，但是这样时间复杂度有点高，因为a-b并不能保证一定大于b，所以我们又会做一次同样操作，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
时间复杂度log N
代码如下：
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}扩展欧几里得算法：
对于这样的方程ax+by=gcd(a,b) 求出满足方程的x,y
通过刚刚的欧几里得算法，
当b==0时 ，ax+0*y=gcd(a,0) x=1 y=0
当b>0时，那么根据欧几里得算法 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
b*x`+(a mod b) y` =gcd(b,a mod b) =gcd(a,b)
ax + by =gcd(a,b)
我们把第一个式子按照第二个式子化简
b*x`+(a-a/b*b)*y` =gcd(a,b)
ay`+b(x`-a/b*y`) =gcd (a,b)
即x=y` 和 y=(x`-a/b*y`)
我们一直递归到b=0，然后把x=1 y=0代入。
时间复杂度log N
代码如下：
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
if (b==0) {
x=1;y=0;
return a;//返回的结果是最大公约数
} else {
int d=exgcd(b,a%b,y,x);//x 和y 的位置换了注意
y-=(a/b)*x;
return d;
}
}单变元模线形方程
对于这样的方程 ax=b mod n 我们可以转化为 ax +ny =b 我们令d=gcd(a,n)
当b整除d时有解，d个，否则无解。
假设我们已经求出 ax + ny = gcd(a,n) =d
那么 ax +ny = b 的解为X=x* b/d;
令X1 Y1 X2 Y2为方程ax + ny =b 的俩组解
aX1 + bY1 =b
aX2 + bY2 =b
即a(X1-X2)=b(Y2-Y1) 我们俩边同时除以d
a/d *(X1-X2)=n/d * (Y2-Y1) 因为d为gcd(a,n)那么gcd(a/d ,n/d)=1 即互质
那么X1-X2=k *(n/d) 和 Y2-Y1=k` (a/d) 俩个k不一样咯注意。
即X1=X2+k*(n/d) Y1=Y2-k`*(a/d)
通解已经推出了 不难发现 ，当k为d时，在模n下 X1=X2+n 与前面重复，所以k的取值为[0,d-1]
最小正整数解 X0=(X1 %(n/d) +(n/d) )% (n/d)
vector line_mod_equation(a,b,n)
{
int x,y;
int d=extend_gcd(a,b,x,y);
vector ans;
ans.clear();
if (b%d==0) {
x=(x%n+n)%n;
ans.push_back(x*(b/d)%(n/d));
for (int i=d;i