中国剩余定理

中国剩余定理（孙子定理）($\mathbf{C}\mathbf{R}\mathbf{T}$)是用来解决韩信点兵类问题的，也就是求关于$x$的方程

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{x}\equiv {\mathbf{a}}_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_1\\ \mathbf{x}\equiv {\mathbf{a}}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_2\\ \cdots \\ \mathbf{x}\equiv {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{n}}\end{array}$$的最小整数解，其中$\mathbf{l}\mathbf{c}\mathbf{m}\{{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}\}=1$
这个东西怎么做呢？我们可以使用一种类似于拉格朗日插值的构造的方法来构造出来
我们令$\mathbf{M}={\prod }_{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$
${\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{M}}{{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}}$，也就是${\prod }_{\mathbf{k}=1}^{\mathbf{i}-1}{\mathbf{p}}_{\mathbf{k}}\times {\prod }_{\mathbf{k}=\mathbf{i}+1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{k}}$
${\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}$为${\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}$在模${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$意义下的逆元，也就是${\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$
那么${\sum }_{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}$就是一个可行解，然后我们就很容易找出最小整数解

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下面给出证明
首先证明存在性，即构造出来的一定是一个解
对于第$\mathbf{i}$个方程，令$\mathbf{i}\ne \mathbf{j}$时，${\mathbf{a}}_{\mathbf{j}}{\mathbf{m}}_{\mathbf{j}}{\mathbf{t}}_{\mathbf{j}}\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$，因为${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}|{\mathbf{m}}_{\mathbf{j}}$
当$\mathbf{i}=\mathbf{j}$，${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}\equiv {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$，因为在模${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$的意义下，${\mathbf{m}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}=1$
所以我们发现我们构造出来的这个解一定是原方程的一个解

下面证明唯一性，即对于我们构造出来的解${\mathbf{x}}_0$，不存在其他任意一个$\mathbf{x}$且${\mathbf{x}}_0,\mathbf{x}$模$\mathbf{M}$不同余（因为加上$\mathbf{M}$显然还有一个解）
设$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0+\mathbf{d}+\mathbf{M}\mathbf{q},\mathbf{d}\nmid \mathbf{M}$
$\because \mathbf{x}\equiv {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}},$
$\mathbf{x}\equiv {\mathbf{x}}_0+\mathbf{d}+\mathbf{M}\mathbf{q}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$
$\mathbf{x}\equiv {\mathbf{x}}_0+\mathbf{d}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$
$\mathbf{x}\equiv {\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}+\mathbf{d}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$
当$\mathbf{d}\nmid \mathbf{M}$即$\mathbf{d}\nmid {\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$时显然无解

所以中国剩余定理是正确的