初等数论四

中国剩余定理CRT

定理1

证明：

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之 剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分三步：

找出三个数：
从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，
从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，
最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），
用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），
同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），
然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数

定理2

定理3

证明：

模是素数幂的同余式

定理4

推论

整数的剩余表示

定义1

定理5

定义2

定理6

定理7

定理8

定理9

定理11