BZOJ2154: Crash的数字表格

BZOJ2154

题目要求的是

∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)

那么我们枚举 gcd(i,j) ，不妨令 n<m
原式变成了：

∑d=1n∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==d]d

=∑d=1n∑ndi=1∑mdj=1i∗j∗d2[gcd(i,j)==1]d

=∑d=1nd∗∑i=1nd∑j=1mdi∗j[gcd(i,j)==1]

定义 F(x,y)=∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==1]
那么原式 =∑nd=1d∗F(nd,md)
定义 S(x,y)=∑xi=1∑yj=1i∗j
G(x,y,z)=∑xi=1∑yj=1∑z|gcd(i,j)i∗j=z2∗S(xz,yz)

F(x,y)=G(x,y,1)−(G(x,y,2)+G(x,y,3)+G(x,y,5)+……)+(G(x,y,6)+(G(x,y,10)……)−(G(x,y,30)+……)

F(x,y)=∑t=1xμ(t)t2S(xt,yt)

那么

ans=∑d=1nd∗∑t=1xμ(t)t2S(ntd,mtd)

令 T=td

ans=∑T=1nS(n/T,m/T)∑d|TTdμ(d)d2

令 f(T)=∑d|TTdμ(d)d2
f(T) 是积性函数，可以线性筛。暴力枚举好像不行。。反正我自己试了T掉了。

【代码】

#include 
#include 
#include 
#define N 10000005
#define INF 0x7fffffff
#define mod 20101009
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pa;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m;
int Miu[N],p[N];
ll sum[N];
bool Not_Prime[N];

void Get_Miu()
{
    Miu[1]=sum[1]=1;
    for(register int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i,Miu[i]=-1,sum[i]=1LL*i*(1-i);
        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=m;j++)
        {
            Not_Prime[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]!=0) Miu[i*p[j]]=-Miu[i],sum[i*p[j]]=sum[i]*sum[p[j]];
            else {sum[i*p[j]]=sum[i]*p[j];break;}
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+sum[i]+mod)%mod;
}

ll Get_Sum(int x,int y){
    return (1LL*x*(x+1)/2)%mod*((1LL*y*(y+1)/2)%mod)%mod;
}

int main()
{
    n=read(),m=read();if(n>m) swap(n,m);
    Get_Miu();
    int pos;ll ans=0;
    for(register int i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+Get_Sum(n/i,m/i)*(sum[pos]-sum[i-1]+mod))%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}