初等数论总结(补完中)
文章目录
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- 欧拉函数
- 唯一分解定理
- 欧几里得算法
- 扩展欧几里得算法(补全中)
- 欧拉降幂
- 线性筛素数
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欧拉函数
含义 ： 欧拉函数Φ（n）表示小于n的数于n互质(gcd(x,y)=1,则互质)的个数。
性质：若n为素数，Φ（n）=n-1；
实现：
long long ol[mx];
void getol()
{
memset(ol,0,sizeof(ol));
ol[1]=1;
for(long long i=2;i<mx;i++){
if(!ol[i])
{
for(long long j=i;j<mx;j+=i){
if(!ol[j])
ol[j]=j;
ol[j]=ol[j]/i*(i-1);
}
}
}
}
例题： LightOJ 1370- Bi-shoe and Phi-shoe
poj2478 Farey Sequence
唯一分解定理
含义 ：任何一个数，都可以写成若干个素数乘积的形式，即 n= P 1 E 1 P1^{E1} P1E1 * P 2 E 2 P2^{E2} P2E2 * P 3 E 3 P3^{E3} P3E3 … P n E n Pn^{En} PnEn.
且该表示形式可以写成唯一的表示。
性质：N的因子的个数=(1+E1) * (1+E2) * (1+E3)…(1+En) (Ei为素数的指数)
gcd(a,b)= p 1 m i n ( a 1 , b 1 ) p1 ^ {min(a1,b1) } p1min(a1,b1)* p 2 m i n ( a 2 , b 2 ) p2 ^ {min(a2,b2) } p2min(a2,b2) … p n m i n ( a n , b n ) pn ^ {min(an,bn) } pnmin(an,bn)
lcm(a,b)= p 1 m a x ( a 1 , b 1 ) p1 ^ {max(a1,b1) } p1max(a1,b1)* p 2 m a x ( a 2 , b 2 ) p2 ^ {max(a2,b2) } p2max(a2,b2) … p n m a x ( a n , b n ) pn ^ {max(an,bn) } pnmax(an,bn)
例题： LightOJ 1341 Aladdin and the Flying Carpet
LightOJ 1236 - Pairs Forming LCM
LightOJ 1220 Mysterious Bacteria
欧几里得算法
含义：gck(a,b)为求a,b的最大公约数
性质：
实现：
int gck(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gck(b,a%b);
}
扩展欧几里得算法(补全中)
含义 ：求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解
性质：
实现：
void exgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)
{
if(!b)
{
d=a;
x=1;
y=0;
}
else
{
exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
例题：POJ - 1061 青蛙的约会
欧拉降幂
含义：对于 A B A^B ABmod C来说，当幂数特别大，需要使B在模C的情况下减小，要使用欧拉降幂。
A B A^B AB mod C= A^(B mod phi(c ) ) mod C …(B
phi(c )为c的欧拉函数
贴个欧拉降幂的讲解https://blog.csdn.net/qq_37632935/article/details/81264965
例题：Super A^B mod C
线性筛素数
注意点：当数据为 1 0 6 10^6 106左右时，数组应使用bool型。若数据大于 1 0 7 10^7 107则无法使用
实现：
const int mx=1e6+5;
bool f[mx];
int p[mx],num=0;
void f1()
{
for(int i=2;i<mx;i++){
if(!f[i]) p[num++]=i;
for(int j=0;j<num&&i*p[j]<mx;j++){
f[i*p[j]]=true;
if(!(i%p[j])) break;
}
}
}
例题：LightOJ 1220 Mysterious Bacteria
LightOJ - 1259 E - Goldbach`s Conjecture