正交矩阵与几何

绪论

由于正交矩阵在几何领域对应旋转矩阵，所以搞清楚正交矩阵的数学性质对理解其几何性质有帮助。故在此记录正交矩阵在线性代数中的一些理论。

正交矩阵

正交矩阵是实方阵。这说明一个正交矩阵首先要有两个先决条件：

1. 方阵
2. 数域是实数域

正交矩阵的行、列向量组都是标准正交向量组。这个限制更强了。

定义

设 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，如果 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{I}$。就称 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵。

谁能想到，仅仅只用了一个等式竟然蕴含这么多的信息，给了一个这么强的约束。

定理1

$\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正交矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的列向量组 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基。

矩阵层次的性质和组成其的向量组联合在一起了~

证明：
设
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1r}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nr}\end{array}\right]$$

按列分块为
$$\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$$

于是
$${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^T\\ {\mathbf{a}}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_n^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_1^T{\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_1^T{\mathbf{a}}_n\\ {\mathbf{a}}_2^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2^T{\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_2^T{\mathbf{a}}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{a}}_n^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_n^T{\mathbf{a}}_2& \dots & {\mathbf{a}}_n^T{\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$$

因此，${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{I}$ 的充分必要条件是
$${\mathbf{a}}_i^T{\mathbf{a}}_i=({\mathbf{a}}_i{\mathbf{a}}_i)=1,i=1,2,...,n$$
且
$${\mathbf{a}}_i^T{\mathbf{a}}_j=({\mathbf{a}}_i{\mathbf{a}}_j)=0,i\ne j,i,j=1,2,...,n$$

即 $\mathbf{A}$ 的列向量组 $\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2，\dots ,{\mathbf{a}}_n\}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准正交基

定理2

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 皆是 $n$ 阶正交矩阵，则：

1. $\det \mathbf{A}=1$或$-1$
2. ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T$
3. ${\mathbf{A}}^{-1}$即${\mathbf{A}}^T$也是正交矩阵
4. $\mathbf{AB}$也是正交矩阵

证明 第3部分：

由于 $$({\mathbf{A}}^T{)}^T{\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$$
所以 ${\mathbf{A}}^T$即${\mathbf{A}}^{-1}$也是正交矩阵，从而$\mathbf{A}$的行向量组也是 ${\mathbb{R}}^n$的一组标准正交基

证明 第4部分：

由
$$(\mathbf{AB}{)}^T(\mathbf{AB})={\mathbf{B}}^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{B}={\mathbf{B}}^T\mathbf{B}$$

即得 $\mathbf{B}$ 也是 正交矩阵

定理3

若列向量 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$在 n 阶正交矩阵 $\mathbf{A}$ 作用下变换为 $\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}\in {\mathbb{R}}^n$，则向量的內积、长度及向量间的夹角都保持不变，即
$$⟨\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$$
$$\Vert \mathbf{Ax}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$$
$$\Vert \mathbf{Ay}\Vert =\Vert \mathbf{y}\Vert$$

证明：

证明：
$$⟨\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}⟩=(\mathbf{Ax}{)}^T(\mathbf{Ay})=x^T({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})y=x^{T}y=⟨x,y⟩$$

当 $$y=x$$时，有
$$⟨\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}⟩=⟨x,x⟩$$
即 $\Vert \mathbf{A}x\Vert =\Vert x\Vert$
同理 $\Vert \mathbf{A}y\Vert =\Vert y\Vert$
因此，
$$\cos ⟨\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}⟩=\frac{⟨\mathbf{Ax},\mathbf{Ay}⟩}{\Vert \mathbf{Ax}\Vert \Vert \mathbf{Ay}\Vert }=\frac{⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩}{\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert }=\cos ⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$$
所以向量 $\mathbf{Ax}$与$\mathbf{Ay}$ 的夹角等于 $x$与$y$的夹角

欧式空间中向量 $x$ 在正交矩阵作用下变换为
$$\mathbf{Ax}$$
通常称之为欧式空间的正交变换，它在研究二次型的标准形时起着重要作用。

与几何的关系

直接引起我记录本文的是定理3中的 正交变换保 向量的模。

在homogeneous坐标下，一个三维点或者直线都可以用一个四维的向量表示。如果这是一个单位向量，那么经过一个正交变换后，仍然是一个单位向量。
其次，两个向量分别表示的直线在经过同一个正交变换（n=4）后，两个向量的夹角不变。

几何视角下的正交矩阵

行列式为 1 的正交矩阵是一个旋转矩阵。将 n 维旋转矩阵的集合定义如下
$$SO(n)=\{\mathbf{R}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}|\mathbf{R}{\mathbf{R}}^T=\mathbf{I},\det (\mathbf{R})=1\}$$

SO(n) 是特殊正交群（Special Orthogonal Group）的意思。这个集合由 n 维空间的旋转矩阵组成。

参考

1. 《线性代数》第二版，居余马等著，清华大学出版社
2. 《视觉SLAM十四讲从理论到实践》高翔等著，中国工信出版集团