泛函分析 01.01 距离空间-绪论

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第一章距离空间 

§01.01绪论 

从分析、代数中的问题到泛函分析
主要目标：
了解和掌握空间理论(包括距离空间、赋范空间、内积空间)和线性算子理论(包括线性算子空间、线性算子谱分析)中的基本概念和基本理论；
运用全新的、现代数学的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题；
学会将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑的形式中加以研究；
综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法；
为进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。
下面从分析、代数、微分方程中的一些例子展开讨论，
学习如何从问题中抽象出泛函分析中的一些基本概念和基本理论；
学习如何使用类比、联想等方法，从问题中归纳出一些基本的数学思想，进而去解决未知的问题。
泛函分析探寻一般的、真正属于本质的东西，并把它们抽象化加以统一处理。

I.1泛函分析的研究对象和方法 

数学研究的基本问题
1.函数 ⇒  映射
函数:x∈X→f(x)∈Y 
进一步：从一个空间X到另一个空间Y的映射。
2.运算(算子)
微分、积分都是运算，并且都是线性运算。
sinx→ ′ cosx; 
cosx→ ∫ sinx; 
实际上，运算也是一种映射：X→Y. 

泛函分析研究的方法
泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的一门数学分支学科。
泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化。
随着笛卡尔坐标系的建立，解析几何的创立，人们把代数问题几何化，把几何问题代数化，为初等数学的许多问题开辟了全新的研究模式。

例如：方程变成图形: x 2 +y 2 =a 2 ⇔  平面上以原点为中心，以a为半径的圆，(x, y)的不同选值，对应于平面上点的运动。
运动的概念引入数学，为微积分的创立做了准备。

在下面的泛函分析的研究中，我们把解析几何的这种解决问题的模式，类比地加以推广:
1.建立一个新的空间框架。
空间的元素
函数:x→f(x) 
运算:X→Y 
矩阵(线性运算)A n×n :X n维 →Y n维  
x∈X,x→Ax∈Y 
注:以后特别注意的是空间中的元素是什么,空间是什么样的结构(距离、范数、内积)? 

2.在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题。
(把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。)
在解析几何、线性代数中，研究的是:
有限维(n维)空间中的运动和映射;
从n维空间到m维空间的线性运算。
在泛函分析(线性泛函分析)中，主要研究的是：
从无穷维空间到无穷维空间的线性运算。
于是特别关注无穷维空间的性质，与有限维空间的区别；
无穷维空间的收敛性问题(加法与无穷级数的区别)。
(1)相同:线性空间。
(2)不同:无穷维。
(3)有什么新问题?

I.2有限维空间的坐标分解和算子分解 

我们通过一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起这样的空间框架。
把有限维空间的研究方法和结论自然地推广到无限维空间。
从分析、代数中的问题出发，引入泛函分析的研究思想方法。
这些例子都是我们熟悉的，希望从中 领悟到数学处理问题的基本思路，
进而把它们类比地推广到我们尚且未知的领域。

例0.1.1R 3 (三维实空间)中的向量分解. 
在R 3 可建立正交坐标系:i ⃗ =(1,0,0),j ⃗ =(0,1,0),k ⃗ =(0,0,1). 
进一步可以定义内积:a ⃗ ⋅b ⃗ =(a ⃗ ,b ⃗ )=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3  
其中a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ),b ⃗ =(b 1 ,b 2 ,b 3 ),且a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |⋅cosθ. 
空间中的任意向量a ⃗ ∈R 3 ,可以用坐标加以表示:a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ), 
其中:a 1 =(a ⃗ ,i ⃗ ),a 2 =(a ⃗ ,j ⃗ ),a 3 =(a ⃗ ,k ⃗ ). 
即:a 1 ,a 2 ,a 3 分别是a ⃗ 在i ⃗ ,j ⃗ ,k ⃗ 上的投影, 
a ⃗ =a 1 i ⃗ +a 2 j ⃗ +a 3 k ⃗ =(a ⃗ ,i ⃗ )i ⃗ +(a ⃗ ,j ⃗ )j ⃗ +(a ⃗ ,k ⃗ )k ⃗ .(0.1.1) 
|a ⃗ | 2 =|(a ⃗ ,i ⃗ )| 2 +|(a ⃗ ,j ⃗ )| 2 +|(a ⃗ ,k ⃗ )| 2 .(0.1.2) 
在n维欧几里得空间中R n 也有类似的结果, 
a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,⋯,a n ), 
a ⃗ =a 1 e ⃗  1 +⋯+a n e ⃗  n  
=(a ⃗ ,e ⃗  1 )e ⃗  1 +⋯+(a ⃗ ,e ⃗  n )e ⃗  n ,(0.1.3) 
|a ⃗ | 2 =∑ i=1 n |(a ⃗ ,e ⃗  i )| 2 ,(0.1.4) 
其中:a ⃗ ∈R n ,e ⃗  1 ,e ⃗  2 ,⋯,e ⃗  n 是R n 的标准正交基. 
注:空间中的一个向量按标准正交基做了投影分解，把复杂问题简单化。 
这样的方法同样可以类推到线性变换(映射)的研究上. 

例.0.1.2线性变换A按“坐标分解”. 
A是从R 4 到R 4 的对称矩阵, 
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 011−1 10−11 1−101 −1110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
其中x,y∈R 4 ,A:x→Ax,Ax=y. 
我们注意到: 
A是对称的线性变换,A(αx 1 +βx 2 )=αAx 1 +βAx 2 ; 
A的特征值是实的; 
A的属于不同特征值的特征向量相互正交; 
A可以化为对角矩阵. 
对角矩阵一定正交相似于一个对角矩阵. 
具体做法: 
(1)|λE−A|=(λ−1) 3 (λ+3). 
λ=−3,+1是特征值,其中λ=+1是三重特征值,λ=−3是单重特征值. 
(2)λ=+1时,求其基础解系如下: 
α 1 =(1,1,0,0), 
α 2 =(1,0,1,0), 
α 3 =(−1,0,0,1). 
(3)该基础解系不正交，将其单位正交化: 
β 1 =(12  √  ,12  √  ,0,0), 
β 2 =(16  √  ,−16  √  ,26  √  ,0), 
β 3 =(−112 − −  √  ,112 − −  √  ,112 − −  √  ,312 − −  √  ). 
当λ=−3时,可得:β 4 =(12 ,−12 ,−12 ,12 ). 
(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )称为R 4 中的一组标准正交基. 
在这组标准正交基下,矩阵A称为对角矩阵. 
A∼A 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 000−3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
T=(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ) 4×4  
T −1 AT=A 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 000−3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
注1:在新的坐标系(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )下，线性变换A有最简单的标准型. 
注2：在每一个特征子空间上(新的坐标系对应的一维子空间上)，A作用的形式最简单的(放大、缩小特征值的倍数). 
Aβ 1 =β 1 ,Aβ 2 =β 2 ,Aβ 3 =β 3 ,Aβ 4 =−3β 4  
∀x ⃗ ∈R 4 ,在正交基e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 下,其中 
e 1 =(1,0,0,0),e 2 =(0,1,0,0),e 3 =(0,0,1,0),e 4 =(0,0,0,1), 
x ⃗ =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 4 . 
在空间构造一组新的正交基β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ,则 
x ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 )=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 ， 
其中,a 1 =(x,β 1 ),a 2 =(x,β 2 ),a 3 =(x,β 3 ),a 4 =(x,β 4 ), 
是x ⃗ 在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影,于是 
Ax=A(a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 ) 
=a 1 Aβ 1 +a 2 Aβ 2 +a 3 Aβ 3 +a 4 Aβ 4  
=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4  
=y=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ). 
矩阵A确定了一组正交基β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 , 
∀x∈R 4 ,只要知道x在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ),则A作用的方式一目了然，即: 
Ax=(λ 1 a 1 ,λ 2 a 2 ,λ 3 a 3 ,λ 4 a 4 )=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ).(0.1.5) 
注:A作用方式是由特征值、特征向量决定的. 
P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 是在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影算子,则 
A=P 1 +P 2 +P 3 −3P 4  
=λ 1 P 1 +λ 2 P 2 +λ 3 P 3 +λ 4 P 4  
在这里λ 1 =λ 2 =λ 3 =1,λ 4 =−3. 
线性变换A分解成4个投影变换(算子)的线性组合. 
数学处理问题的原则是把复杂问题简单化. 
把复杂问题转化为已知的简单问题来处理(化归) 
例如:三元一次方程组 
⇒(代入消元)二元一次方程组 
⇒一元一次方程组:ax=b 
当a≠0时有唯一解, 
当a=0,b≠0时无解, 
当a=0,b=0时有无穷多解. 

I.3无穷维空间的类比和联想 

泛函分析要研究的对象是函数、运算。
微分、积分运算，它们作用的对象是函数，
微分、积分运算于 R n   空间中线性变换A相比较，
相同之处：线性运算；
不同之处：A把一个n维向量变成n维(或m维向量)。微(积)分把一个函数映射成另一个函数。
函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷多个数刻画。
我们希望通过“类比和联想”，把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间(无穷维空间)。
这就要研究下面问题：
1.无穷维空间的几何结构，特别是：
(1)是否存在坐标系 (e 1 ,⋯,c n ,⋯)? 
(2)是否有正交性 (e i ⊥e j ,i≠j)? 
(3)无穷维空间中的原素x能不能分解?
x=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,⋯) 
=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 +a 4 e 4 +⋯. 
∥x∥ 2 =∑ i |a i | 2 ?(0.1.6) 
其中a i =(x,e i ),i=1,2,⋯(比较(0.1.2)、(0.1.4)式). 

2.线性算子的特征和结构:
(1)线性算子的性质(有没有对称算子?)
(2)线性算子T能不能分解?
A=P 1 +P 2 +P 3 −3P 4 ;（有限维) 
T?=λ 1 P 1 +λ 2 P 2 +λ 3 P 3 +⋯(无穷维)(0.1.7) 
其中P 1 ,P 2 ,P 3 ,⋯是在e 1 ,e 2 ,e 3 ,⋯上的投影算子. 
注:由于(0.1.7)式中有无穷项相加,于是存在是不是收敛的问题，如果收敛，是在什么意义下收敛？这将是我们在泛函分析中要十分关注的问题。

I.4无穷维空间的坐标分解 

为了考虑算子的分解，首先要研究函数的分解。函数可以用无穷多个数形成的数组来刻画。
例 0.1.3 Taylor展开.
如果函数满足很好的性质,则在它的收敛半径内，有
f(x)=f(0)+f ′ (0)x+f ′′ (0)2! x 2 +⋯+f (n) (0)n! x n +⋯ 
即:函数可以和一个可数无穷数列一一对应，
f(x)∼(f(0),f ′ (0)1! ,f ′′ (0)2! ,⋯,f (n) (0)n! ,⋯). 
这和一个向量在n维空间的展开完全类似， 
x ⃗ =x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 4 , 
x ⃗ =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ). 
区别在于(x 0 ,x 1 ,x 2 ,⋯,x n ,⋯)不是“正交系”. 

下面我们熟知的Fourier展开就是一种在正交系中的展开。
例0.1.4 Fourier级数
f(x)=a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskx+b k sinkx), 
其中a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx,a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx,b k =1π ∫ π −π f(x)sinkxdx. 
f(x)∼(a 0 2 ,a 1 ,b 1 ,⋯,a n ,b n ,⋯),f可以由这无穷多个数确定. 
其坐标系为: 
e 0 =12π − −  √  ,e 1 =1π  √  cosx,e 2 =1π  √  sinx,e 3 =1π  √  cos2x, 
e 4 =1π  √  sin2x,⋯,e 2k−1 =1π  √  coskx,e 2k =1π  √  sinkx,⋯ 
(a 0 2 ,a 1 ,b 1 ,⋯,a n ,b n ,⋯)为函数f在这个坐标系下的坐标. 
类似于R n ,在函数空间L 2 (−π,π)上可以定义内积(f,g)=∫ π −π f(x)g(x)dx. 
内积的定义可参阅3.3节命题3.3.9、定义3.3.10. 
因为 
∫ π −π 1π  √  cosnx⋅1π  √  cosmxdx={0,n≠m,1,n=m.  
∫ π −π 1π  √  sinnx⋅1π  √  sinmxdx={0,n≠m,1,n=m  
∫ π −π 1π  √  cosnx⋅1π  √  sinmxdx=0. 
即∫ π −π e i e j dx=(e i ,e j )={0,i≠j,1,i=j.  
所以{e i }形成空间