极限,导数和微积分-1

极限

我们在一些数到达极限时，会出现一些奇怪的反应，我们来举个例子：

所有自然数的和是负值

我们来给出关于 $1+2+3\dots +\infty =-\frac{1}{12}$ 的严谨证明。

引理 $1$

我们先来证明 $S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1\dots =\frac{1}{2}$

我们算出 $1-S_1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1\dots )=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1\dots$

我们化简可以得出 $1-S_1=1-1+1-1+1-1+1-1\dots =S_1$。

我们根据方程的性质可以推断出 $2S_1=1$

引理 $2$

我们接着来证明 $S_2=1-2+3-4+5-6+7-\dots =\frac{1}{4}$。

我们来计算 $2S_2$ 的值，我们发现：

$2S_2=(1-2+3-4+5-\dots )+1-(2-3+4-5\dots )$。

将括号内的式子相减，我们发现：

$2S_2=-(1-1+1-1+1-1\dots )+1=-S_1+1$

由引理 $1$ 可以得出，$2S_2=\frac{1}{2}$

由方程的性质可以得出，$S_2=\frac{1}{4}$。

证明

我们设 $S=1+2+3\dots$，我们可以说明，这个 $S$ 的值就是所有自然数的和（高中自然数含 $0$，但是大学自然数不含 $0$，总之 $S$ 的值是不会变化的）。

我们来计算一下 $S-S_2$ 的值。

$S-S_2=(1+2+3\dots )-(1-2+3-4+5-\dots )=4+8+12+16\dots =4\times (1+2+3\dots )=4S$。

方程连起来可以得出 $S-S_2=4S$，化简可得 $3S=-S_2$。

我们根据引理 $2$ 可以得出：$3S=-\frac{1}{4}$。

最后化简得 $S=-\frac{1}{12}$。

极限定义

在数学上，我们一般使用 $\epsilon -\delta$ 语言去描述一个问题的极限。

我们要计算 $\underset{x\to x_0}{\lim }$ 格式就是：

对于 $\forall \epsilon >0$，都 $\exists \delta$ 使得，$0<|x-x_0|<\delta$，并且此时 $|f(x)-A|<\epsilon$（$A$ 是你搞出来的极限值）。那么，我们就称 $A$ 是 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的极限。

来一道例题：

例题1

证明： $\underset{x\to 1}{\lim }x+1=2$

这道题目挺显然的，我们一眼就可以看出 $f(x)=x+1$ 在 $x\to 1$ 是 $f(x)$ 的值为 $2$。

但是，我们如何书写一个完美的，没有瑕疵的过程呢？

这个时候就需要使用 $\epsilon -\delta$ 语言了。

分析

我们发现 $|(x+1)-2|=|x-1|$，令 $|x-1|<\epsilon$，解出 $|x-1|<\epsilon$，就很废话。

我们这时取 $\delta =\epsilon$，当 $|x-1|<\delta$ 时，总有 $|f(x)-A|<\epsilon$，得证。

过程

令函数 $f(x)=x+1$。

此题化为求 $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ 的值。

我们发现对于 $\forall \epsilon >0$，$\exists \delta =\epsilon$，则当 $|x-1|<\epsilon$时，有 $|f(x)-2|=|x-1|<\delta =\epsilon$，所以，我们可以说明，$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$。

也就证明了推论。

后记

之后也会给大家继续讲述关于导数，极限和微积分的内容。

大家耐心等待，一定会更新的。