有界线性算子1

有界线性算子1

一、有界线性算子和算子空间

研究空间的映射

1.1 有界线性算子的概念

【定义】有界线性算子、有界线性泛函

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是线性算子¹，

1. 若存在常数 $c>0$ ，使得对一切 $x\in X$ 有 $\Vert Tx\Vert \le c\Vert x\Vert$，则称 $T$ 是有界线性算子

2. 在 1 的基础上，当 $Y$ 为 $\mathbb{R}$ 或 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 1: \̲C̲ 时，$T$ 便称为有界线性泛函

【定理】有界集经线性算子映射后仍为有界集

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间， $T:X\to Y$ 是线性算子， 则

• $T$ 是有界线性算子 $⟺$ $T$ 将 $X$ 中有界集映射成 $Y$ 中有界集

【定义】有界线性算子的算子范数

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是有界线性算子，
$$\Vert T\Vert =\underset{\begin{array}{c}x\in X\\ x\ne 0\end{array}}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }$$
$\Vert T\Vert$ 称为 $T$ 的 算子范数/范数

【定理】算子范数的性质

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是有界线性算子，

• $\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert Tx\Vert$

• $\forall x\in X$，有 $\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert$

• 如果存在 $c>0$，使得

  1. $\forall x\in X$，有 $\Vert Tx\Vert \le c\Vert x\Vert$
  2. $\Vert T{x}_0\Vert =c$ 时 $\exists x_0\in X$，$\Vert x_0\Vert =1$

  则 $\Vert T\Vert =c$

1.2 有界线性算子的连续性

【定理】有界线性算子的连续性

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是线性算子，

• 若 $\exists x_0\in X$ 使 $T$ 在 $x_0$ 处连续，则 $T$ 在 $X$ 上连续
• $T$ 是有界线性算子当且仅当 $T$ 在 $X$ 上连续

即对于线性算子，【有界性】和【连续性】是等价的，由此可以推出下面的定理

设 $X、Y$ 是两个赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是有界线性算子，

• 若 $|x_n|\subset X$，$x_n\to x_0$，则 $T{x}_n\to T{x}_0$
• $T$ 是零空间，$\mathcal{N}(T)=\{x\in X|Tx=0\}$ 是闭的

【定理】有界线性算子的性质

有界线性算子空间 $\mathcal{B}(X,Y)$，按照算子范数成为赋范线性空间

设 $X$ 为赋范线性空间，$Y$ 为Banach空间，则

• $\mathcal{B}(X,Y)$ 为Banach空间

设 $X$ 为赋范线性空间，$X^{\ast }$是 $X$ 上所有的有界线性泛函，则 $X^{\ast }$ 是Banach空间

设 $X$ 为赋范线性空间，$\mathcal{B}(X,X)$ 是其上所有的有界线性算子，则

• $\forall S,T\in \mathcal{B}(X,X)$，复合 $S\circ T\in \mathcal{B}$ 且 $\Vert S\circ T\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert$²

1.3 有界线性算子空间

【定理】有界线性算子构成赋范线性空间

设 $\mathcal{B}(X,Y)$ 是赋范线性空间 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子全体的集合，则 $\mathcal{B}(X,Y)$ 按照式 $(T+S)x=Tx+Sx$，$(\alpha T)x=\alpha Tx(x\in X)$ 定义的线性运算和按照式 $\Vert T\Vert ={\sup }_{x\in X,x\ne 0}\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }$ 定义的范数成为赋范线性空间。

【定理】有界线性算子空间的完备性

设 $X,Y$ 是赋范线性空间，其中 $Y$ 是 Bananch 空间，则 $\mathcal{B}(X,Y)$ 是 Banach 空间³

【定理】赋范线性空间上有界线性泛函的全体是Banach空间

设 $X$ 是赋范线性空间，$X^{\ast }$ 是其上有界线性泛函的全体，则 $X^{\ast }$ 是 Banach 空间

【定理】到自身的有界线性算子，算子的乘积即复合

设 $X$ 是赋范线性空间，$\mathcal{B}(X,X)$ 是其上有界线性算子的全体，则 $\forall S,T\in \mathcal{B}(X,X)$，复合 $S\circ T\in \mathcal{B}(X,X)$ 且 $\Vert S\circ T\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert$

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1. 【线性算子】$X、Y$是两个线性空间，$D$ 为 $X$ 的线性子空间，$T:D\to Y$ 是一种映射，对于 $\forall x,y\in D$，若存在 $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$，则 $T$ 为线性算子 ↩︎

2. 【复合映射】设有映射 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，则可定义复合映射 $f\circ g:A\to C$，对于算子，也会用算子的乘积（如 $fg$）来表示算子的复合 ↩︎

3. 【Banach空间】完备的赋范线性空间称为Banach空间 ↩︎