费马小定理

费马小定理

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费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

这个书写方式更加常用。（符号的应用请参见同余。）

[编辑]历史

皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。这个要求实际上不需要。

与费马小定理相关的有一个猜想。这个猜想是中国数学家提出来的。其内容为：当且仅当≡ 2(mod p)成立时p是一个素数。

也就是说，如果p是一个素数的话，则≡ 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）。这个结论是对的。但反过来，假如 ≡ 2(mod p)成立则p是一个素数的结论是错的（例如，341符合上述条件，但它不是一个素数：341=11x31。）。因此，整个说来，这个猜想是不成立的。

有一种说法，认为中国在孔子时代就证明了费马小定理的逆命题：如果n整除2^(n-1)-1，则n就是素数。实际上这是一个翻译错误。1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例：341。后来，人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立。

[编辑]证明

若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。因此

即

在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：

[编辑]广义

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么

这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。

在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它并不实用。

[编辑]卡迈克尔数

如上所述，中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。

更极端的反例是卡迈克尔数：

假设a与561互质，则a^560被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数数，561是最小的卡迈克尔数数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义，但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。