FFT算法的完整DSP实现

【原文：http://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/9790455】

傅里叶变换或者FFT的理论参考：

[1] http://www.dspguide.com/ch12/2.htm

      The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing,   By Steven W. Smith, Ph.D.

[2] http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6196862，可当作[1]的中文参考

[3] 任意一本数字信号处理教材，上面都有详细的推导DCT求解转换为FFT求解的过程

[4] TI文档：基于TMS320C64x+DSP的FFT实现。 使用baidu/google可以搜索到。

另外，FFT的开源代码可参考：

[1] FFTW: http://www.fftw.org/ 最快，最好的开源FFT。

[2] FFTReal: http://ldesoras.free.fr/prod.html#src_fftreal 轻量级FFT算法实现

[3] KISS FFT: http://sourceforge.net/projects/kissfft/ 简单易用的FFT的C语言实现

1. 有关FFT理论的一点小小解释

关于FFT这里只想提到两点：

（1）DFT变换对的表达式（必须记住）

          —— 称旋转因子

（2）FFT用途——目标只有一个，加速DFT的计算效率。

DFT计算X(k)需要N^2次复数乘法和N(N-1)次复数加法；FFT将N^2的计算量降为。

“FFT其实是很难的东西，即使常年在这个领域下打拼的科学家也未必能很好的写出FFT的算法。”——摘自参考上面提供的参考文献[1]

因此，我们不必太过纠结于细节，当明白FFT理论后，将已有的算法挪过来用就OK了，不必为闭着教材写不出FFT而郁闷不堪。

FFT的BASIC程序伪代码如下：

IFFT的BASIC程序伪代码如下（IFFT通过调用FFT计算）：

FFT算法的流程图如下图，总结为3过程3循环：

（1）3过程：单点时域分解（倒位序过程） + 单点时域计算单点频谱 + 频域合成

（2）3循环：外循环——分解次数，中循环——sub-DFT运算，内循环——2点蝶形算法

分解过程或者说倒位序的获得参考下图理解：

2. FFT的DSP实现

下面为本人使用C语言实现的FFT及IFFT算法实例，能计算任意以2为对数底的采样点数的FFT，算法参考上面给的流程图。

 /*
  * zx_fft.h
  *
  *  Created on: 2013-8-5
  *      Author: monkeyzx
  */

 #ifndef ZX_FFT_H_
 #define ZX_FFT_H_

 typedef float          FFT_TYPE;

 #ifndef PI
 #define PI             (3.14159265f)
 #endif

 typedef struct complex_st {
     FFT_TYPE real;
     FFT_TYPE img;
 } complex;

 int fft(complex *x, int N);
 int ifft(complex *x, int N);
 void zx_fft(void);

 #endif /* ZX_FFT_H_ */

 /*
  * zx_fft.c
  *
  * Implementation of Fast Fourier Transform(FFT)
  * and reversal Fast Fourier Transform(IFFT)
  *
  *  Created on: 2013-8-5
  *      Author: monkeyzx
  */

 #include "zx_fft.h"
 #include <math.h>
 #include <stdlib.h>

 /*
  * Bit Reverse
  * === Input ===
  * x : complex numbers
  * n : nodes of FFT. @N should be power of 2, that is 2^(*)
  * l : count by bit of binary format, @l=CEIL{log2(n)}
  * === Output ===
  * r : results after reversed.
  * Note: I use a local variable @temp that result @r can be set
  * to @x and won't overlap.
  */
 static void BitReverse(complex *x, complex *r, int n, int l)
 {
     int i = 0;
     int j = 0;
     short stk = 0;
     static complex *temp = 0;

     temp = (complex *)malloc(sizeof(complex) * n);
     if (!temp) {
         return;
     }

     for(i=0; i<n; i++) {
         stk = 0;
         j = 0;
         do {
             stk |= (i>>(j++)) & 0x01;
             if(j<l)
             {
                 stk <<= 1;
             }
         }while(j<l);

         if(stk < n) {             /* 满足倒位序输出 */
             temp[stk] = x[i];
         }
     }
     /* copy @temp to @r */
     for (i=0; i<n; i++) {
         r[i] = temp[i];
     }
     free(temp);
 }

 /*
  * FFT Algorithm
  * === Inputs ===
  * x : complex numbers
  * N : nodes of FFT. @N should be power of 2, that is 2^(*)
  * === Output ===
  * the @x contains the result of FFT algorithm, so the original data
  * in @x is destroyed, please store them before using FFT.
  */
 int fft(complex *x, int N)
 {
     int i,j,l,ip;
     static int M = 0;
     static int le,le2;
     static FFT_TYPE sR,sI,tR,tI,uR,uI;

     M = (int)(log(N) / log(2));

     /*
      * bit reversal sorting
      */
     BitReverse(x,x,N,M);

     /*
      * For Loops
      */
     for (l=1; l<=M; l++) {   /* loop for ceil{log2(N)} */
         le = (int)pow(2,l);
         le2 = (int)(le / 2);
         uR = 1;
         uI = 0;
         sR = cos(PI / le2);
         sI = -sin(PI / le2);
         for (j=1; j<=le2; j++) {   /* loop for each sub DFT */
             //jm1 = j - 1;
             for (i=j-1; i<=N-1; i+=le) {  /* loop for each butterfly */
                 ip = i + le2;
                 tR = x[ip].real * uR - x[ip].img * uI;
                 tI = x[ip].real * uI + x[ip].img * uR;
                 x[ip].real = x[i].real - tR;
                 x[ip].img = x[i].img - tI;
                 x[i].real += tR;
                 x[i].img += tI;
             }  /* Next i */
             tR = uR;
             uR = tR * sR - uI * sI;
             uI = tR * sI + uI *sR;
         } /* Next j */
     } /* Next l */

     return 0;
 }

 /*
  * Inverse FFT Algorithm
  * === Inputs ===
  * x : complex numbers
  * N : nodes of FFT. @N should be power of 2, that is 2^(*)
  * === Output ===
  * the @x contains the result of FFT algorithm, so the original data
  * in @x is destroyed, please store them before using FFT.
  */
 int ifft(complex *x, int N)
 {
     int k = 0;

     for (k=0; k<=N-1; k++) {
         x[k].img = -x[k].img;
     }

     fft(x, N);    /* using FFT */

     for (k=0; k<=N-1; k++) {
         x[k].real = x[k].real / N;
         x[k].img = -x[k].img / N;
     }

     return 0;
 }

 /*
  * Code below is an example of using FFT and IFFT.
  */
 #define  SAMPLE_NODES              (128)
 complex x[SAMPLE_NODES];
 int INPUT[SAMPLE_NODES];
 int OUTPUT[SAMPLE_NODES];

 static void MakeInput()
 {
     int i;

     for ( i=0;i<SAMPLE_NODES;i++ )
     {
         x[i].real = sin(PI*2*i/SAMPLE_NODES);
         x[i].img = 0.0f;
         INPUT[i]=sin(PI*2*i/SAMPLE_NODES)*1024;
     }
 }

 static void MakeOutput()
 {
     int i;

     for ( i=0;i<SAMPLE_NODES;i++ )
     {
         OUTPUT[i] = sqrt(x[i].real*x[i].real + x[i].img*x[i].img)*1024;
     }
 }

 void zx_fft(void)
 {
     MakeInput();

     fft(x,128);
     MakeOutput();

     ifft(x,128);
     MakeOutput();
 }

程序在TMS320C6713上实验，主函数中调用zx_fft()函数即可。

FFT的采样点数为128，输入信号的实数域为正弦信号，虚数域为0，数据精度定义FFT_TYPE为float类型，MakeInput和MakeOutput函数分别用于产生输入数据INPUT和输出数据OUTPUT的函数，便于使用CCS 的Graph功能绘制波形图。这里调试时使用CCS v5中的Tools -> Graph功能得到下面的波形图（怎么用自己琢磨，不会的使用CCS 的Help）。

输入波形

输入信号的频域幅值表示

FFT运算结果

对FFT运算结果逆变换(IFFT)

如何检验运算结果是否正确呢？有几种方法：

（1）使用matlab验证，下面为相同情况的matlab图形验证代码

 SAMPLE_NODES = 128;
 i = 1:SAMPLE_NODES;
 x = sin(pi*2*i / SAMPLE_NODES);

 subplot(2,2,1); plot(x);title('Inputs');
 axis([0 128 -1 1]);

 y = fft(x, SAMPLE_NODES);
 subplot(2,2,2); plot(abs(y));title('FFT');
 axis([0 128 0 80]);

 z = ifft(y, SAMPLE_NODES);
 subplot(2,2,3); plot(abs(z));title('IFFT');
 axis([0 128 0 1]);

（2）使用IFFT验证：输入信号的FFT获得的信号再IFFT，则的到的信号与原信号相同

可能大家发现输入信号上面的最后IFFT的信号似乎不同，这是因为FFT和IFFT存在精度截断误差（也叫数据截断噪声，意思就是说，我们使用的float数据类型数据位数有限，没法完全保留原始信号的信息）。因此，IFFT之后是复数（数据截断噪声引入了虚数域，只不过值很小），所以在绘图时使用了计算幅值的方法，

C代码中：

 OUTPUT[i] = sqrt(x[i].real*x[i].real + x[i].img*x[i].img)*1024;

matlab代码中：

 subplot(2,2,3); plot(abs(z));title('IFFT');

所以IFFT的结果将sin函数的负y轴数据翻到了正y轴。另外，在CCS v5的图形中我们将显示信号的幅度放大了1024倍便于观察，而matlab中没有放大。

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更正 更正 。。。

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上面程序中的BitReverse函数由于使用了malloc函数，当要分配的n比较大时，在DSP上运行会出现一定的问题，因此改用伪代码中提供的倒位序方法更可靠。

修正后的完整FFT代码文件粘贴如下，在实际的DSP项目中测试通过，可直接拷贝复用。

 /*
  * zx_fft.h
  *
  *  Created on: 2013-8-5
  *      Author: monkeyzx
  */

 #ifndef _ZX_FFT_H
 #define _ZX_FFT_H

 #include "../Headers/Global.h"

 #define TYPE_FFT_E     float    /* Type is the same with COMPLEX member */

 #ifndef PI
 #define PI             (3.14159265f)
 #endif

 typedef COMPLEX TYPE_FFT;  /* Define COMPLEX in Config.h */

 extern int fft(TYPE_FFT *x, int N);
 extern int ifft(TYPE_FFT *x, int N);

 #endif /* ZX_FFT_H_ */

 /*
  * zx_fft.c
  *
  * Implementation of Fast Fourier Transform(FFT)
  * and reversal Fast Fourier Transform(IFFT)
  *
  *  Created on: 2013-8-5
  *      Author: monkeyzx
  *
  * TEST OK 2014.01.14
  * == 2014.01.14
  *   Replace @BitReverse(x,x,N,M) by refrence to
  *   <The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing>
  */

 #include "zx_fft.h"

 /*
  * FFT Algorithm
  * === Inputs ===
  * x : complex numbers
  * N : nodes of FFT. @N should be power of 2, that is 2^(*)
  * === Output ===
  * the @x contains the result of FFT algorithm, so the original data
  * in @x is destroyed, please store them before using FFT.
  */
 int fft(TYPE_FFT *x, int N)
 {
     int i,j,l,k,ip;
     static int M = 0;
     static int le,le2;
     static TYPE_FFT_E sR,sI,tR,tI,uR,uI;

     M = (int)(log(N) / log(2));

     /*
      * bit reversal sorting
      */
     l = N / 2;
     j = l;
     //BitReverse(x,x,N,M);
     for (i=1; i<=N-2; i++) {
         if (i < j) {
             tR = x[j].real;
             tI = x[j].imag;
             x[j].real = x[i].real;
             x[j].imag = x[i].imag;
             x[i].real = tR;
             x[i].imag = tI;
         }
         k = l;
         while (k <= j) {
             j = j - k;
             k = k / 2;
         }
         j = j + k;
     }

     /*
      * For Loops
      */
     for (l=1; l<=M; l++) {   /* loop for ceil{log2(N)} */
         le = (int)pow(2,l);
         le2 = (int)(le / 2);
         uR = 1;
         uI = 0;
         sR = cos(PI / le2);
         sI = -sin(PI / le2);
         for (j=1; j<=le2; j++) {   /* loop for each sub DFT */
             //jm1 = j - 1;
             for (i=j-1; i<=N-1; i+=le) {  /* loop for each butterfly */
                 ip = i + le2;
                 tR = x[ip].real * uR - x[ip].imag * uI;
                 tI = x[ip].real * uI + x[ip].imag * uR;
                 x[ip].real = x[i].real - tR;
                 x[ip].imag = x[i].imag - tI;
                 x[i].real += tR;
                 x[i].imag += tI;
             }  /* Next i */
             tR = uR;
             uR = tR * sR - uI * sI;
             uI = tR * sI + uI *sR;
         } /* Next j */
     } /* Next l */

     return 0;
 }

 /*
  * Inverse FFT Algorithm
  * === Inputs ===
  * x : complex numbers
  * N : nodes of FFT. @N should be power of 2, that is 2^(*)
  * === Output ===
  * the @x contains the result of FFT algorithm, so the original data
  * in @x is destroyed, please store them before using FFT.
  */
 int ifft(TYPE_FFT *x, int N)
 {
     int k = 0;

     for (k=0; k<=N-1; k++) {
         x[k].imag = -x[k].imag;
     }

     fft(x, N);    /* using FFT */

     for (k=0; k<=N-1; k++) {
         x[k].real = x[k].real / N;
         x[k].imag = -x[k].imag / N;
     }

     return 0;
 }

另外，可能还需要您在其它头文件中定义COMPLEX的复数类型

 typedef struct {
     float real;
     float imag;
 } COMPLEX;

=====================

增加：FFT频谱结果显示

=====================

 clc;
 clear;

 % Read a real audio signal
 [fname,pname]=uigetfile(...
     {'*.wav';'*.*'},...
     'Input wav File');
 [x fs nbits] = wavread(fullfile(pname,fname));

 % Window
 % N = 1024;
 N = size(x,1);
 x = x(1:N, 1);

 % FFT
 y = fft(x);
 % 频率对称，取N/2
 y = y(1:N/2);

 % FFT频率与物理频率转换
 x1 = 1:N/2;
 x2 = (1:N/2)*fs/(N/2);  % /1000表示KHz
 log_x2 = log2(x2);

 % plot
 figure,
 subplot(2,2,1);plot(x);
 xlabel('Time/N');ylabel('Mag');grid on
 title('原始信号');
 subplot(2,2,2);plot(x1, abs(y));
 xlabel('Freq/N');ylabel('Mag');grid on
 title('FFT信号/横坐标为点数');
 subplot(2,2,3);plot(x2,abs(y));
 xlabel('Freq/Hz');ylabel('Mag');grid on
 title('FFT信号/横坐标为物理频率');
 subplot(2,2,4);plot(log_x2,abs(y));
 xlabel('Freq/log2(Hz)');ylabel('Mag');grid on
 title('FFT信号/横坐标为物理频率取log');

 % 更常见是将幅值取log
 y = log2(abs(y));
 figure,
 plot(x2,y);
 xlabel('Freq/Hz');ylabel('Mag/log2');grid on
 title('幅值取log2');