51NOD 1040 最大公约数之和(分析 + 欧拉函数)

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1040 最大公约数之和
题目来源： rihkddd
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题
给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6
1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15
Input
1个数N(N <= 10^9)
Output
公约数之和
Input示例
6
Output示例
15
解题思路：
我们首先看一下数据范围，10^9，那么我们暴力的话是绝对不可以的，那样很故意就超时了，那么我们来分析一下：要我们求的是<=n与n的最大公约数的和，那么她们的最大公约数肯定是n的因子，其实根据这个就很接近了，那么我们来举个例子，假设n=12，那么12的因子有1 2 3 4 6 12（应该就是这些吧），所以1-12中与12 的最大公约数也肯定是在这些因子中产生的，那么我们可以枚举每一个因子，将因子设为ni, 将ni的数目设为mi,那么最大的公约数之和就是

ans=∑ni∗mi

ni好求，关键是求mi,那么在(m< n)的条件下GCD(n, m) = f,我们可以将这个转化为在[1-n/f]区间内与n/f互素的个数就等于GCD(n, m) = f(1<=m<=n)的个数。关键是是这个转化，那么在[1-n/f]区间内与n/f互素的个数就是求一个欧拉函数Eualr(n/f)。
上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL Eular(LL m)
{
    LL res = m;
    for(LL i=2; i*i<=m; i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            res -= res/i;
            while(m%i==0)
                m /= i;
        }
    }
    if(m > 1)
        res -= res/m;
    return res;
}
int main()
{
    LL m;
    while(~scanf("%lld",&m))
    {
        LL ans = 0;
        for(LL i=1; i*i<=m; i++)
        {
            if(m%i == 0){
                ans += Eular(m/i)*i;
                if(m != i*i)
                    ans += m/i*Eular(i);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}